WikiDer > Слабая формулировка

Weak formulation

Слабые составы являются важными инструментами для анализа математических уравнения которые разрешают передачу концепции из линейная алгебра для решения проблем в других областях, таких как уравнения в частных производных. В слабой формулировке уравнение больше не требуется для абсолютного выполнения (и это даже не определено четко), а вместо этого слабые решения только в отношении определенных "тестовых векторов" или "тестовые функции". Это равносильно постановке проблемы, требующей решения в смысле распространение.[нужна цитата]

Мы вводим слабые формулировки на нескольких примерах и представляем основную теорему для решения: Теорема Лакса – Милграма. Теорема названа в честь Питер Лакс и Артур Милгрэм, который доказал это в 1954 году.

Общая концепция

Позволять быть Банахово пространство. Мы хотим найти решение уравнения

,

куда и , с будучи двойной из .

Это эквивалентно нахождению такой, что для всех держит:

.

Здесь мы называем тестовый вектор или тестовая функция.

Мы приводим это в общую форму слабой формулировки, а именно находим такой, что

путем определения билинейная форма

Поскольку это очень абстрактно, давайте рассмотрим несколько примеров.

Пример 1: линейная система уравнений

Теперь позвольте и - линейное отображение. Тогда слабая формулировка уравнения

включает поиск такой, что для всех имеет место следующее уравнение:

куда обозначает внутренний продукт.

С является линейным отображением, достаточно проверить с базисными векторами, и мы получаем

Собственно, расширение , получаем матричную форму уравнения

куда и .

Билинейная форма, связанная с этой слабой формулировкой, есть

Пример 2: уравнение Пуассона

Наша цель - решить Уравнение Пуассона

на домене с на его границе, и мы хотим указать пространство решений потом. Мы будем использовать -скалярный продукт

чтобы вывести нашу слабую формулировку. Затем тестирование с дифференцируемыми функциями , мы получили

Мы можем сделать левую часть этого уравнения более симметричной, интеграция по частям с помощью Личность Грина и предполагая, что на :

Это то, что обычно называют слабой формулировкой Уравнение Пуассона. Нам еще предстоит указать пробел в котором нужно найти решение, но, как минимум, он должен позволить нам записать это уравнение. Поэтому мы требуем, чтобы функции в равны нулю на границе и имеют интегрируемые с квадратом производные. Подходящим пространством для удовлетворения этих требований является Соболевское пространство функций с слабые производные в и с нулевыми граничными условиями, поэтому положим

Мы получаем общий вид, полагая

и

Теорема Лакса – Милграма

Это формулировка Теорема Лакса – Милграма которое опирается на свойства симметричной части билинейная форма. Это не самая общая форма.

Позволять быть Гильбертово пространство и а билинейная форма на , который

  1. ограниченный: и
  2. принудительный:

Тогда для любого , есть уникальное решение к уравнению

и он держит

Применение к примеру 1

Здесь применение теоремы Лакса – Милграма определенно является более сильным результатом, чем необходимо, но мы все же можем использовать его и придать этой проблеме ту же структуру, что и другие.

  • Ограниченность: все билинейные формы на ограничены. В частности, у нас есть
  • Коэрцитивность: на самом деле это означает, что действительные части собственных значений не меньше чем . Поскольку это, в частности, означает, что никакое собственное значение не равно нулю, система разрешима.

Дополнительно получаем оценку

куда - минимальная действительная часть собственного значения .

Применение к примеру 2

Здесь, как мы упоминали выше, мы выбираем с нормой

где норма справа - это -норма на (это дает истинную норму посредством Неравенство ПуанкареНо мы видим, что и по Неравенство Коши – Шварца, .

Поэтому для любого , есть уникальное решение из Уравнение Пуассона и имеем оценку

Смотрите также

Рекомендации

  • Лакс, Питер Д.; Милгрэм, Артур Н. (1954), "Параболические уравнения", Вклад в теорию дифференциальных уравнений в частных производных, Анналы математических исследований, 33, Принстон, Н. Дж.: Princeton University Press, стр. 167–190, Дои:10.1515/9781400882182-010, Г-Н 0067317, Zbl 0058.08703

внешняя ссылка