WikiDer > Теория когомологий Вейля

В алгебраическая геометрия, а Когомологии Вейля или же Теория когомологий Вейля это когомология удовлетворяющие определенным аксиомам о взаимодействии алгебраические циклы и группы когомологий. Название в честь Андре Вайль. Теории когомологий Вейля играют важную роль в теории мотивы, поскольку категория из Чау-мотивы универсален для теорий когомологий Вейля в том смысле, что любая теория когомологий Вейля влияет на мотивы Чжоу. Отметим, что, однако, категория мотивов Чжоу не дает теории когомологий Вейля, поскольку она не является абелевский.

Определение

А Теория когомологий Вейля это контравариантный функтор:

${ displaystyle H ^ {*}: {{ text {гладкие проективные многообразия над полем}} k } longrightarrow {{ text {graded}} K { text {-algebras}} },}$

в соответствии с аксиомами ниже. Обратите внимание, что поле K не следует путать с k; первое - поле нулевой характеристики, называемое поле коэффициентов, а базовое поле k может быть произвольным. Предполагать Икс гладкий проективное алгебраическое многообразие измерения п, то оцененный K-алгебра

${ displaystyle H ^ {*} (X) = bigoplus nolimits _ {i} H ^ {i} (X)}$

подлежит следующему:

• ${ Displaystyle Н ^ {я} (Х)}$ конечномерны K-векторные пространства.

• ${ Displaystyle Н ^ {я} (Х)}$ исчезнуть для я <0 или я > 2п.

• ${ displaystyle H ^ {2n} (X)}$ изоморфен K (так называемая карта ориентации).

• Есть Двойственность Пуанкаре, т.е. невырожденное спаривание:

${ Displaystyle H ^ {I} (X) times H ^ {2n-i} (X) to H ^ {2n} (X) cong K.}$

• Есть канонический Кюннет изоморфизм:

${ Displaystyle H ^ {*} (X) otimes H ^ {*} (Y) to H ^ {*} (X times Y).}$

• Существует велосипедная карта:

${ displaystyle gamma _ {X}: Z ^ {i} (X) to H ^ {2i} (X),}$

где первая группа означает алгебраические циклы коразмерности я, удовлетворяющие определенным условиям совместности по функториальности ЧАС, изоморфизм Кюннета и такой, что для Икс точка, карта цикла - это включение Z ⊂ K.

• Слабая аксиома Лефшеца: Для любого гладкого сечение гиперплоскости j: W ⊂ Икс (т.е. W = Икс ∩ ЧАС, ЧАС некоторая гиперплоскость в объемлющем проективном пространстве) карты:

${ displaystyle j ^ {*}: H ^ {i} (X) to H ^ {i} (W),}$

являются изоморфизмами для ${ Displaystyle я leqslant п-2}$ и мономорфизм для ${ Displaystyle я leqslant п-1.}$

• Жесткая аксиома Лефшеца: Позволять W быть сечением гиперплоскости и ${ Displaystyle ш = гамма _ {X} (W) в H ^ {2} (X)}$ быть его изображением под картой классов цикла. В Оператор Лефшеца определяется как

${ displaystyle { begin {cases} L: H ^ {i} (X) to H ^ {i + 2} (X) x mapsto x cdot w end {cases}}}$

где точка обозначает произведение в алгебре ${ displaystyle H ^ {*} (X).}$ потом

${ displaystyle L ^ {i}: H ^ {n-i} (X) to H ^ {n + i} (X)}$

является изоморфизмом для я = 1, ..., п.

Примеры

Существует четыре так называемых классических теории когомологий Вейля:

• особые (= Бетти) когомологии, относительно сортов более C как топологические пространства, используя их аналитическая топология (видеть ГАГА)

• когомологии де Рама над базовым полем характеристика ноль: более C определяется дифференциальные формы и вообще с помощью комплекса кэлеровых дифференциалов (см. алгебраические когомологии де Рама)

• l-адические когомологии для многообразий над полями характеристики, отличной от л

• кристаллические когомологии

Доказательства аксиом в случае когомологий Бетти и де Рама сравнительно просты и классичны, тогда как для л-адических когомологий, например, большинство перечисленных выше свойств являются глубокими теоремами.

Обнуление групп когомологий Бетти, размерность которых превышает удвоенную, ясно из того факта, что (комплексное) многообразие комплексной размерности п имеет реальное измерение 2п, поэтому эти высшие группы когомологий исчезают (например, сравнивая их с симплициальные (ко) гомологии). Карта цикла также имеет простое объяснение: с учетом любого (сложного)я-мерное подмногообразие в (компактное многообразие) Икс сложного измерения п, можно проинтегрировать дифференциал (2n − i) -форма по этому подмногообразию. Классическое утверждение Двойственность Пуанкаре состоит в том, что это дает невырожденное спаривание:

${ displaystyle H_ {i} (X) otimes H _ { text {dR}} ^ {2n-i} (X) to mathbf {C},}$

таким образом (посредством сравнения когомологий де Рама и когомологий Бетти) получается изоморфизм:

${ displaystyle H_ {i} (X) cong H _ { text {dR}} ^ {2n-i} (X) ^ { vee} cong H ^ {i} (X).}$

Рекомендации

• Гриффитс, Филипп; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии, Библиотека Wiley Classics, Нью-Йорк: Wiley, Дои:10.1002/9781118032527, ISBN 978-0-471-05059-9, МИСТЕР 1288523 (содержит доказательства всех аксиом когомологий Бетти и де-Рама)
• Милн, Джеймс С. (1980), Этальные когомологии, Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08238-7 (то же самое для л-адические когомологии)
• Клейман, С. Л. (1968), "Алгебраические циклы и гипотезы Вейля", Dix Exposés sur la cohomologie des schémas, Амстердам: Северная Голландия, стр. 359–386, МИСТЕР 0292838