WikiDer > Теория когомологий Вейля

Weil cohomology theory

В алгебраическая геометрия, а Когомологии Вейля или же Теория когомологий Вейля это когомология удовлетворяющие определенным аксиомам о взаимодействии алгебраические циклы и группы когомологий. Название в честь Андре Вайль. Теории когомологий Вейля играют важную роль в теории мотивы, поскольку категория из Чау-мотивы универсален для теорий когомологий Вейля в том смысле, что любая теория когомологий Вейля влияет на мотивы Чжоу. Отметим, что, однако, категория мотивов Чжоу не дает теории когомологий Вейля, поскольку она не является абелевский.

Определение

А Теория когомологий Вейля это контравариантный функтор:

в соответствии с аксиомами ниже. Обратите внимание, что поле K не следует путать с k; первое - поле нулевой характеристики, называемое поле коэффициентов, а базовое поле k может быть произвольным. Предполагать Икс гладкий проективное алгебраическое многообразие измерения п, то оцененный K-алгебра

подлежит следующему:

  • исчезнуть для я <0 или я > 2п.
  • изоморфен K (так называемая карта ориентации).
  • Есть канонический Кюннет изоморфизм:
  • Существует велосипедная карта:
где первая группа означает алгебраические циклы коразмерности я, удовлетворяющие определенным условиям совместности по функториальности ЧАС, изоморфизм Кюннета и такой, что для Икс точка, карта цикла - это включение ZK.
  • Слабая аксиома Лефшеца: Для любого гладкого сечение гиперплоскости j: WИкс (т.е. W = ИксЧАС, ЧАС некоторая гиперплоскость в объемлющем проективном пространстве) карты:
являются изоморфизмами для и мономорфизм для
  • Жесткая аксиома Лефшеца: Позволять W быть сечением гиперплоскости и быть его изображением под картой классов цикла. В Оператор Лефшеца определяется как
где точка обозначает произведение в алгебре потом
является изоморфизмом для я = 1, ..., п.

Примеры

Существует четыре так называемых классических теории когомологий Вейля:

Доказательства аксиом в случае когомологий Бетти и де Рама сравнительно просты и классичны, тогда как для л-адических когомологий, например, большинство перечисленных выше свойств являются глубокими теоремами.

Обнуление групп когомологий Бетти, размерность которых превышает удвоенную, ясно из того факта, что (комплексное) многообразие комплексной размерности п имеет реальное измерение 2п, поэтому эти высшие группы когомологий исчезают (например, сравнивая их с симплициальные (ко) гомологии). Карта цикла также имеет простое объяснение: с учетом любого (сложного)я-мерное подмногообразие в (компактное многообразие) Икс сложного измерения п, можно проинтегрировать дифференциал (2n − i) -форма по этому подмногообразию. Классическое утверждение Двойственность Пуанкаре состоит в том, что это дает невырожденное спаривание:

таким образом (посредством сравнения когомологий де Рама и когомологий Бетти) получается изоморфизм:

Рекомендации

  • Гриффитс, Филипп; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии, Библиотека Wiley Classics, Нью-Йорк: Wiley, Дои:10.1002/9781118032527, ISBN 978-0-471-05059-9, МИСТЕР 1288523 (содержит доказательства всех аксиом когомологий Бетти и де-Рама)
  • Милн, Джеймс С. (1980), Этальные когомологии, Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08238-7 (то же самое для л-адические когомологии)
  • Клейман, С. Л. (1968), "Алгебраические циклы и гипотезы Вейля", Dix Exposés sur la cohomologie des schémas, Амстердам: Северная Голландия, стр. 359–386, МИСТЕР 0292838