WikiDer > Метрики Вейля

Weyl metrics

В общая теория относительности, то Метрики Вейля (назван в честь немецко-американского математика Герман Вейль)[1] класс статический и осесимметричный решения для Уравнение поля Эйнштейна. Три члена известной Керр – Ньюман семейные решения, а именно Шварцшильд, неэкстремальный Рейсснер-Нордстрём и экстремальные метрики Рейсснера – Нордстрёма могут быть идентифицированы как метрики типа Вейля.

Стандартные метрики Вейля

Класс решений Вейля имеет общий вид[2][3]


куда и - два метрических потенциала, зависящих от Канонические координаты Вейля . Система координат лучше всего подходит для симметрии пространства-времени Вейля (с двумя Убивающие векторные поля существование и ) и часто действует как цилиндрические координаты,[2] но это неполный при описании черная дыра в качестве только покрыть горизонт и его экстерьеры.

Следовательно, для определения статического осесимметричного решения, соответствующего конкретному тензор энергии-импульса , нам просто нужно подставить метрическое уравнение Вейля (1) в уравнение Эйнштейна (с c = G = 1):


и проработать две функции и .

Уравнения приведенного поля для электровакуумных решений Вейля

Одним из наиболее изученных и наиболее полезных решений Вейля является электровакуумный случай, когда происходит из-за существования электромагнитного поля (типа Вейля) (без потоков вещества и тока). Как известно, с учетом электромагнитного четырехпотенциала , антисимметричное электромагнитное поле и бесследового тензора напряжений-энергии будет соответственно определяться


который соблюдает ковариантные уравнения Максвелла без источников:

Уравнение (5.a) можно упростить до:


в расчетах как . Кроме того, поскольку для электровакуума уравнение (2) сводится к


Теперь предположим, что осесимметричный электростатический потенциал типа Вейля равен (компонент на самом деле электромагнитный скалярный потенциал), и вместе с уравнением для метрики Вейля (1) из уравнений (3) (4) (5) (6) следует, что





куда дает уравнение (7.a), или же дает уравнение (7.b), или же дает уравнение (7.c), дает уравнение (7.d), а уравнение (5.b) дает уравнение (7.e). Здесь и соответственно Лаплас и градиент операторы. Более того, если предположить в смысле взаимодействия материи и геометрии и предполагая асимптотическую плоскостность, мы обнаружим, что уравнения (7.a-e) влекут за собой характеристическое соотношение, которое

В частности, в простейшем вакуумном корпусе с и , Уравнения (7.a-7.e) сводятся к[4]





Во-первых, мы можем получить решив уравнение (8.b), а затем проинтегрируем уравнение (8.c) и уравнение (8.d) для . Практически уравнение (8.a), возникающее из просто работает как отношение согласованности или условие интегрируемости.

В отличие от нелинейного Уравнение Пуассона Уравнение (7.b), уравнение (8.b) является линейным Уравнение лапласа; другими словами, суперпозиция данных вакуумных решений для уравнения (8.b) все еще является решением. Этот факт имеет широкое применение, например, для аналитического исказить черную дыру Шварцшильда.

Ньютоновский аналог метрического потенциала Ψ (ρ, z)

В метрическом уравнении Вейля (1) ; таким образом, в приближении предела слабого поля , надо


и поэтому


Это очень похоже на хорошо известную приближенную метрику для статических и слабых гравитационные поля генерируются маломассивными небесными телами, такими как Солнце и Земля,[5]


куда это обычный Ньютоновский потенциал удовлетворяющее уравнению Пуассона , как и уравнение (3.a) или уравнение (4.a) для метрического потенциала Вейля . Сходства между и вдохновлять людей узнавать Ньютоновский аналог из при изучении класса решений Вейля; то есть воспроизвести нерелятивистски по определенному типу ньютоновских источников. Ньютоновский аналог оказывается весьма полезным при указании конкретных решений типа Вейля и расширении существующих решений типа Вейля.[2]

Решение Шварцшильда

Потенциалы Вейля, порождающие Метрика Шварцшильда как решения вакуумных уравнений уравнение (8) даются[2][3][4]


куда


С точки зрения ньютоновского аналога, равен гравитационному потенциалу, создаваемому стержнем массы и длина размещены симметрично на -ось; то есть линейной массой однородной плотности вложил интервал . (Примечание: на основе этого аналога были разработаны важные расширения метрики Шварцшильда, как описано в ссылке.[2])

Данный и , Метрика Вейля Eq ( ref {метрика Вейля в канонических координатах}) принимает вид


и после замены следующих взаимосогласованных отношений



можно получить общий вид метрики Шварцшильда в обычном координаты,


Метрическое уравнение (14) нельзя напрямую преобразовать в уравнение (16), выполнив стандартное цилиндрическо-сферическое преобразование , потому что завершено, пока неполный. Вот почему мы звоним в уравнении (1) как канонические координаты Вейля, а не цилиндрические координаты, хотя у них много общего; например, лапласиан в уравнении (7) - это в точности двумерный геометрический лапласиан в цилиндрических координатах.

Неэкстремальное решение Рейсснера – Нордстрема

Потенциалы Вейля, порождающие неэкстремальную Рейсснер-Нордстрём решение () как решения уравнений (7} даются выражениями[2][3][4]


куда


Таким образом, учитывая и , Метрика Вейля принимает вид


и используя следующие преобразования



можно получить общую форму неэкстремальной метрики Рейсснера – Нордстрёма в обычном координаты,


Экстремальное решение Рейсснера – Нордстрёма.

Потенциалы, порождающие экстремальный Решение Рейсснера – Нордстрема () как решения уравнений (7} даются выражениями[4] (Примечание: мы относимся к экстремальный решение отдельно, потому что это намного больше, чем вырожденное состояние неэкстремального аналога.)


Таким образом, экстремальная метрика Рейсснера – Нордстрема имеет вид


и заменив


получаем экстремальную метрику Рейсснера – Нордстрёма в обычном координаты,


Математически экстремаль Рейсснера – Нордстрема может быть получена путем перехода к пределу соответствующего неэкстремального уравнения, а пока нужно использовать Правило госпиталя иногда.

Примечания: метрика Вейля (1) с нулевым потенциалом (подобно экстремальной метрике Рейсснера – Нордстрёма) составляют специальный подкласс, который имеет только один метрический потенциал быть идентифицированным. Расширяя этот подкласс путем отмены ограничения осесимметрии, мы получаем другой полезный класс решений (все еще использующий координаты Вейля), а именно: конформный метрики[6][7]


где мы используем в уравнении (22) как единственную метрическую функцию вместо в уравнении (1), чтобы подчеркнуть, что они различаются осевой симметрией (-зависимость).

Вакуумные решения Вейля в сферических координатах

Метрика Вейля также может быть выражена в сферические координаты который


что равняется уравнению (1) через преобразование координат (Примечание: как показано уравнениями (15) (21) (24), это преобразование не всегда применимо.) В случае вакуума уравнение (8.b) для становится


В асимптотически плоский решения уравнения (28) есть[2]


куда представлять Полиномы Лежандра, и находятся многополюсный коэффициенты. Другой метрический потенциал дан кем-то[2]


Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Вейл, Х., "Zur Gravitationstheorie", Анна. дер Физик 54 (1917), 117–145.
  2. ^ а б c d е ж грамм час Джереми Брансом Гриффитс, Иржи Подольский. Точное пространство-время в общей теории относительности Эйнштейна. Кембридж: Издательство Кембриджского университета, 2009. Глава 10.
  3. ^ а б c Ганс Стефани, Дитрих Крамер, Малькольм МакКаллум, Корнелиус Хенселаерс, Эдуард Херльт. Точные решения уравнений поля Эйнштейна.. Кембридж: Издательство Кембриджского университета, 2003. Глава 20.
  4. ^ а б c d Р. Готро, Р. Б. Хоффман, А. Арменти. Статические многочастичные системы в общей теории относительности. IL NUOVO CIMENTO B, 1972 г., 7(1): 71-98.
  5. ^ Джеймс Б. Хартл. Гравитация: Введение в общую теорию относительности Эйнштейна. Сан-Франциско: Addison Wesley, 2003. Уравнение (6.20) преобразовано в лоренцевы цилиндрические координаты.
  6. ^ Гильермо А. Гонсалес, Антонио К. Гутьеррес-Пинерес, Паоло А. Оспина. Конечные осесимметричные заряженные пылевые диски в конформастатическом пространстве-времени. Physical Review D, 2008 г., 78(6): 064058. arXiv: 0806.4285v1
  7. ^ Антонио К. Гутьеррес-Пинерес, Гильермо А Гонсалес, Эрнандо Кеведо. Конформастатические диски-гало в гравитации Эйнштейна-Максвелла. Physical Review D, 2013 г., 87(4): 044010. [1]