WikiDer > Плитка алгебры - Википедия

Algebra tile - Wikipedia

Алгебра плитки находятся математические манипуляторы которые позволяют студентам лучше понять способы алгебраического мышления и концепции алгебра. Эти плитки зарекомендовали себя как конкретные модели для Начальная школа, Средняя школа, Средняя школаи вводный алгебра студенты. Они также использовались для приготовления тюрьма сокамерники за их Общеобразовательное развитие (GED) тесты.^[1] Алгебра плитки позволяют как алгебраический, так и геометрический подход к алгебраическим понятиям. Они дают студенты еще один способ решения алгебраических задач, отличный от абстрактного манипулирования.^[1] В Национальный совет учителей математики (NCTM) рекомендует уменьшить акцент на запоминании правил алгебра и манипулирование символами алгебра в их Учебная программа и стандарты оценки по математике. Согласно NCTM Стандарты 1989 г. «[r] одобрение моделей друг другу способствует лучшему пониманию каждой из них».^[2]

Физические атрибуты

Примеры плиток алгебры

Плитки алгебры состоят из маленьких квадраты, прямоугольники, и большие квадраты. Маленький квадрат, единичный тайл, представляет 1; прямоугольник представляет Переменная ${ displaystyle x}$ ; а большой квадрат представляет ${ displaystyle x ^ {2}}$ . Сторона ${ displaystyle x ^ {2}}$ плитка равна длине ${ displaystyle x}$ плитка. Ширина ${ displaystyle x}$ плитка такая же, как и сторона плитки юнита. Кроме того, длина ${ displaystyle x}$ плитка часто не целое кратное стороны плитки блока.

Плитки состоят из двух цветов: один для демонстрации положительный ценности и другое, чтобы показать отрицательный значения. А нулевая пара отрицательный и положительный элемент плитки (или отрицательный и положительный ${ displaystyle x}$ плитка, или отрицательный и положительный ${ displaystyle x ^ {2}}$ tile), которые вместе составляют нулевую сумму.^[1]

Использует

Добавление целых чисел

Добавление целых чисел - лучшее место для начала, когда кто-то хочет привыкнуть к идее представления чисел с помощью количества плиток. Любое целое число может быть представлено одинаковым количеством плиток правильного цвета. Например, для 6 можно выбрать шесть желтых плиток. Для -3 нужно выбрать три красных плитки. Плитка обычно двухсторонняя: желтая с одной стороны и красная с другой. Это позволяет учащемуся усвоить мощную концепцию «принятия противоположного» отрицательного, просто означающего противоположное. Итак, одна желтая плитка - положительная, а противоположная (переверните) - отрицательная. Эта идея пригодится при работе с - (-2). Чтобы работать со сложной ситуацией, подобной этой, начните с двух -1 (красная сторона), а дополнительный отрицательный результат означает противоположное или переверните их. - (-2) = 2.

При добавлении плитки следует подумать об объединении количества вместе. Если складывается 2 + 3, они должны объединить две желтые плитки с тремя желтыми, чтобы получить 5 желтых плиток. Та же идея работает для объединения отрицательных чисел. Если нужно добавить -3 + -1, они должны объединить три отрицательных красных плитки с одной отрицательной красной плиткой, чтобы получить четыре отрицательных красных плитки. -3 + -1 = -4.

Когда кто-то добавляет положительные числа к отрицательным числам с помощью плиток алгебры, им необходимо привносить идею «исключения» или «нулевых пар» каждый раз, когда они добавляют положительное число к отрицательному. Это верно для любого количества плиток, пока одно и то же количество и противоположный знак устраняют друг друга (или создают нулевую пару). Например, если добавить -5 + 7, они объединят пять красных плиток с семью желтыми плитками. Можно сопоставить красные и желтые плитки по одной, чтобы удалить пять желтых плиток, чтобы получить две желтые плитки и ноль красных плиток. -5 + 7 = 2.

Если начать с большего количества желтых плиток, чем красных, ответ будет положительным. Если начать с большего количества красных плиток, чем желтых, ответ будет отрицательным.

Еще один пример: -5 + 2. Пять красных плиток объединяются с двумя желтыми плитками. Две желтые плитки уничтожают друг друга (или образуют нулевую пару), а две красные плитки оставляют три красных плитки позади. -5 + 2 = -3.

Вычитание целых чисел

Плитки алгебры также можно использовать для вычитания целые числа. Человек может взять на себя такую задачу, как ${ displaystyle 6-3 =?}$ и начните с группы из шести плиток, а затем уберите три, чтобы оставить ученика с тремя оставшимися, так что затем ${ displaystyle 6-3 = 3}$ . Плитки алгебры также можно использовать для решения таких задач, как ${ Displaystyle -4 - (- 2) =?}$ , что эквивалентно задаче ${ displaystyle -4 + 2}$ . Важно уметь связать эти две проблемы и то, почему они приводят к одному и тому же ответу, потому что это показывает, что ${ Displaystyle - (- 2) = 2}$ . Другой способ использования плиток алгебры для целое число вычитание можно увидеть, посмотрев на проблемы, где нужно вычесть положительный целое число от меньшего положительного целое число, подобно ${ displaystyle 5-8}$ . Здесь можно начать с пяти положительных единичных плиток, а затем добавить нулевые пары к пяти положительным единичным плиткам, пока не будет восемь положительных единичных плиток. Добавление нулевых пар не изменит значения исходных пяти положительных плиток единиц. Затем ученик удалял восемь положительных плиток единиц и подсчитывал количество оставшихся отрицательных плиток единиц. Это количество отрицательных плиток единиц будет тогда ответом, который будет равен -3.^[3]

Умножение целых чисел

Умножение из целые числа с плитками алгебры выполняется путем формирования прямоугольника с плитками. В длина и ширина прямоугольника будет два факторы и тогда общее количество плиток в прямоугольнике будет ответом на умножение проблема. Например, чтобы определить 3 × 4, нужно взять три положительных единичных плитки для представления трех строк в прямоугольнике, а затем будет четыре положительных единичных плитки для представления столбцов в прямоугольнике. Это привело бы к получению прямоугольника с четырьмя столбцами из трех положительных единичных плиток, что представляет собой 3 × 4. Теперь ученик может подсчитать количество плиток в прямоугольнике, которое будет равно 12.

Моделирование и упрощение алгебраических выражений

Моделирование алгебраических выражений с помощью плиток алгебры очень похоже на моделирование. добавление и вычитание целых чисел с использованием плиток алгебры. В таком выражении, как ${ displaystyle 5x-3}$ можно сгруппировать пять положительных x плиток вместе, а затем три отрицательных единичных плитки вместе, чтобы представить это алгебраическое выражение. Наряду с моделированием этих выражений, плитки алгебры также могут использоваться для упрощения алгебраических выражений. Например, если есть ${ displaystyle 4x + 5-2x-3}$ они могут комбинировать положительные и отрицательные плитки x и единичные плитки, чтобы сформировать нулевые пары, чтобы оставить студенту выражение ${ displaystyle 2x + 2}$ . Поскольку плитки выкладываются прямо перед учеником, легко комбинировать одинаковые термины или термины, представляющие один и тот же тип плитки.^[3]

В распределительное свойство моделируется через плитки алгебры, демонстрируя, что a (b + c) = (a × b) + (a × c). Можно было бы смоделировать то, что представлено на обеих сторонах уравнения по отдельности, и определить, что они оба равны друг другу. Если кто-то хочет показать это ${ Displaystyle 3 (х + 1) = 3x + 3}$ затем они сделают три набора из одной плитки единицы и одной плитки x, а затем объединят их вместе, чтобы увидеть, приведет ли это к ${ displaystyle 3x + 3}$ , что он и делает.^[4]

Решение линейных уравнений с использованием сложения

В линейное уравнение ${ displaystyle x-8 = 6}$ можно смоделировать с одним положительным ${ displaystyle x}$ плитка и восемь плиток отрицательных единиц на левой стороне листа бумаги и шесть плиток положительных единиц на правой стороне. Для сохранения равноправия сторон каждое действие необходимо выполнять с обеих сторон.^[1] Например, с обеих сторон можно добавить восемь положительных тайлов юнитов.^[1] Нулевые пары плиток юнитов удаляются с левой стороны, остается одна положительная ${ displaystyle x}$ плитка. На правой стороне 14 положительных тайлов юнитов, так что ${ displaystyle x = 14}$ .

Алгебра тайловая модель ${ displaystyle x-6 = 2}$
Алгебра тайловая модель ${ Displaystyle х-6 + 6 = 2 + 6}$
Алгебра тайловая модель ${ displaystyle x = 8}$

Решение линейных уравнений с помощью вычитания

Уравнение ${ displaystyle x + 7 = 10}$ можно смоделировать с одним положительным ${ displaystyle x}$ тайл и семь тайлов положительных единиц с левой стороны и 10 тайлов положительных единиц с правой стороны. Вместо того, чтобы складывать одинаковое количество плиток с обеих сторон, можно вычесть одинаковое количество плиток с обеих сторон. Например, семь положительных тайлов юнитов могут быть удалены с обеих сторон. Это оставляет один положительный момент ${ displaystyle x}$ плитка с левой стороны и три плитки положительных единиц с правой стороны, поэтому ${ displaystyle x = 3}$ .^[1]

Алгебра тайловая модель ${ displaystyle x + 7 = 10}$
Алгебра тайловая модель ${ displaystyle x = 3}$

Решение линейных систем

Линейные системы уравнений можно решить алгебраически, выделив одну из переменных и затем выполнив замену. Выделение переменной можно смоделировать с помощью плиток алгебры аналогично решению линейных уравнений (см. Выше), а подстановку можно смоделировать с помощью плиток алгебры, заменив плитки другими плитками.

Умножение многочленов

При использовании плиток алгебры для умножения одночлен по одночлен, ученик должен сначала создать прямоугольник, в котором длина прямоугольника один одночлен а затем ширина прямоугольника другой одночлен, аналогично умножению целые числа используя плитки алгебры. Как только стороны прямоугольника представлены плитками алгебры, можно попытаться выяснить, какие плитки алгебры заполнят прямоугольник. Например, если бы у кого-то было x × x, единственной плиткой алгебры, которая завершила бы прямоугольник, было бы x², что и есть ответ.

Умножение из биномы похоже на умножение из мономы при использовании плиток алгебры. Умножение биномы также можно рассматривать как создание прямоугольника, в котором факторы являются длина и ширина.^[2] Как и в случае с мономы, можно было бы настроить стороны прямоугольника как факторы а затем заполните прямоугольник плитками алгебры.^[2] Этот метод использования плиток алгебры для умножения многочлены известна как модель площади^[5] и это также может быть применено к умножению мономы и биномы друг с другом. Пример умножения биномы равно (2x + 1) × (x + 2), и первый шаг, который должен сделать ученик, - это установить две положительные плитки x и одну положительную единичную плитку, чтобы представить длина прямоугольника, а затем нужно взять одну положительную плитку x и две положительные единичные плитки, чтобы представить ширина. Эти две линии плиток образуют пространство, которое выглядит как прямоугольник, который можно заполнить определенными плитками. В случае этого примера прямоугольник будет состоять из двух положительных x² плитки, пять положительных плиток x и две положительных единичных плитки. Итак, решение - 2x²+ 5x + 2.

Факторинг

Алгебра тайловая модель

{ displaystyle x ^ {2} + 3x + 2}

Для факторизации с использованием плиток алгебры необходимо начать с набора плиток, которые ученик объединяет в прямоугольник, для этого может потребоваться добавление нулевых пар для создания прямоугольной формы. Примером может служить один положительный x² тайл, три положительных тайла x и два положительных единичных тайла. Студент формирует прямоугольник, имея x² плитка в правом верхнем углу, то у одной есть две плитки x с правой стороны от x² плитка, одна плитка под x² плитка, и две плитки юнитов находятся в правом нижнем углу. Размещая плитки алгебры по сторонам этого прямоугольника, мы можем определить, что нам нужна одна положительная плитка x и одна положительная единичная плитка для длина а затем одну положительную плитку x и две положительные единичные плитки для ширина. Это означает, что два факторы находятся ${ displaystyle x + 1}$ и ${ displaystyle x + 2}$ .^[1] В некотором смысле это обратная процедурам умножения многочлены.

Завершение квадрата

Процесс завершение квадрата может быть выполнено с использованием плиток алгебры, поместив x² плитки и x плиток в квадрат. Невозможно полностью создать квадрат, потому что будет отсутствовать меньший квадрат из большего квадрата, который ученик сделал из плиток, которые ему дали, и который будет заполнен плитками единиц. К завершить квадрат, учащийся определит, сколько плиток единиц потребуется для заполнения недостающего квадрата. К завершить квадрат из х²+ 6x, можно начать с одного положительного x² плитка и шесть положительных плиток x. Затем они поместили бы x² плитки в верхнем левом углу, а затем можно было бы разместить три положительных плитки x справа от x² плитки и три положительных единицы x плитки под x² плитка. Чтобы заполнить квадрат, нам нужно девять положительных плиток единиц. мы создали x²+ 6x + 9, которые можно разложить на ${ Displaystyle (х + 3) (х + 3)}$ .^[6]

Источники

Китт, Нэнси А. и Аннет Рикс Лейтце. «Использование самодельных плиток алгебры для развития концепций алгебры и предалгебры». УЧИТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ 2000. 462-520.
Штейн, Мэри Кей и другие., Выполнение стандартных инструкций по математике. Нью-Йорк: издательство Teachers College Press, 2000.
Ларсон, Рональд Э., Алгебра 1. Иллинойс: Макдугал Литтелл, 1998.

внешняя ссылка

Национальная библиотека виртуальных манипуляторов

[Kitt,_N-1] а ^б ^c ^d ^е ^ж ^грамм Китт 2000.

[Stein,_M-2] а ^б ^c Штейн 2000.

[phschool.com-3] а ^б "Школа Прентис Холл" (PDF). Phschool.com. Архивировано из оригинал (PDF) на 2012-02-12. Получено 2013-07-22.

[4] [1] В архиве 16 мая 2008 г. Wayback Machine

[5] Ларсон Р: «Алгебра 1», стр. 516. Макдугал Литтел, 1998.

[6] Донна Робертс. «Использование плиток алгебры для завершения квадрата». Regentsprep.org. Архивировано из оригинал на 2013-08-18. Получено 2013-07-22.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Navigation