WikiDer > Autoregressives Modell

Es autoregressives (AR) Modell ist ein Modell aus der Zeitreihenanalyse die verwendet wird, um bestimmte zu identifizieren Vorhersagen machen.

Definition

Das autoregressive Modell der Ordnung ${displaystyle p,}$ notiert als ${displaystyle mathrm {AR} (p),}$ ist definiert als

${displaystyle X_{t}=c Summe _{i=1}^{p}varphi _{i}X_{t-i} varepsilon _{t}}$,

in welchem ${displaystyle varphi _{1},ldots ,varphi _{p}}$ das Parameter vom Modell sein, ${Anzeigestil c}$ ein Konstante ist und ${displaystyle varepsilon _{t}}$weißes Rauschen ist. Der konstante Term wird oft weggelassen.

Annahmen

1. ${displaystyle mathrm {E} (varepsilon _{t})=0}$
2. ${displaystyle mathrm {E} (varepsilon_{t}^{2})=sigma ^{2}}$
3. ${displaystyle mathrm {E} (varepsilon _{t}varepsilon _{s})=0}$ für alle ${Displaystyle-Teqs}$

Beispiel

EIN ${displaystyle mathrm {AR} (1)}$Prozess ist gegeben durch:

${displaystyle X_{t}=c varphi X_{t-1} varepsilon _{t},}$

in welchem ${displaystyle varepsilon_{t}}$ erfüllt die Annahmen. Infolgedessen ist die erwarteter Wert${displaystyle mathrm {E} (X_{t})}$ gleich für alle Werte von ${Anzeigestil t,}$ für den Fall, dass ${Anzeigestil |varphi |<1.}$. Der Erwartungswert ${Anzeigestil mu}$ entspricht

${displaystyle mathrm {E} (X_{t})=mathrm {E} (c) varphi mathrm {E} (X_{t-1}) mathrm {E} (varepsilon _{t})Rightarrow mu =c varphi mu 0}$

So

${displaystyle mu ={frac {c}{1-varphi}}}$

Insbesondere wenn ${Anzeigestil c=0}$, ist der Erwartungswert gleich 0.

Das Abweichung ist

${displaystyle mathrm {var} (X_{t})=mathrm {E} (X_{t}^{2})-mu ^{2}={frac {sigma_{varepsilon}^{2}}{1- varphi ^{2}}}}$,

in welchem ${displaystyle sigma_{varepsilon}}$ die Standardabweichung von ${displaystyle varepsilon _{t}}$ ist.

Dies ist zu sehen durch ${displaystyle mathrm {var} (X_{t})=varphi ^{2}mathrm {var} (X_{t-1}) sigma ^{2}.}$