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Beispiel für zwei Sätze von 19 Zahlen (0, 5, ..., 90 und 0, 37, 38, ..., 53, 90).

Das Abweichung ist in der Statistik ein Maß für die Streuung eines Wertebereichs, also den Grad, in dem sich die Werte voneinander unterscheiden. Je größer die Varianz, desto mehr weichen die einzelnen Werte voneinander ab und desto mehr weichen die Werte vom „Mittelwert“ ab.

Die Varianz misst mehr oder weniger den Mittelwert des Quadrats dieser Abweichungen. Diese Werte können die Werte von a . sein Population sind, dann spricht man von der Populationsvarianz. Sind es die Werte von a Verteilung, dann ist die Varianz ein Maß für die "Breite" dieser Verteilung, und man spricht meist nur von der Varianz dieser Verteilung. Ist die fragliche Verteilung die Wahrscheinlichkeitsverteilung von a stochastische Variable${Anzeigestil X}$, dann spricht man von der Varianz von ${Anzeigestil X}$.

Ist es das Ergebnis von a Stichprobe, dann spricht man von Stichprobenabweichung.

Die Populationsvarianz ist a Parameter (Eigenschaft) der Bevölkerung; die Stichprobenvarianz ${displaystyle s^{2}}$ ist ein Abtastfunktion, ein Schätzer der Populationsvarianz. Das Wurzel aus der Varianz wird Standardabweichung, Standardabweichung oder streuen erwähnt.

Population

Die Formel für die Varianz der Grundgesamtheit, normalerweise bezeichnet mit ${Displaystil-Sigma ^{2}}$ ist:

${displaystyle sigma ^{2}={frac {1}{N}}summe _{i=1}^{N}(x_{i}-mu )^{2}}$

mit ${Anzeigestil mu}$ die Bevölkerungszahl, ${Displaystil N}$ die Bevölkerungsgröße und ${displaystyle x_{1},ldots ,x_{N}}$ die Bevölkerungselemente.

Es gibt eine kürzere Berechnungsformel:

${displaystyle sigma ^{2}={frac {1}{N}}summe _{i=1}^{N}x_{i}^{2}-mu ^{2}}$

Dieser leitet sich wie folgt ab:

${Anzeigestil Summe (x_{i}-mu)^{2}=Summe (x_{i}^{2}-2x_{i}mu mu ^{2})=Summe x_{i}^{2}-2mu Summe x_{i} Summe mu ^{2}=Summe x_{i}^{2}-2mu Nmu Nmu ^{2}=}$

${Displaystyle Quad Quad = Summe x_{i}^{2}-Nmu ^{2}}$

Links und rechts teilen durch ${Displaystil N}$ gibt das gewünschte Ergebnis zurück.

Beim (fairen) Würfeln können die Augenzahlen 1 bis 6 bei gleicher Chance von 1/6 das Ergebnis sein. Die erwartete Augenzahl (Populationsmittelwert) eines Wurfes ist daher:

${displaystyle mu ={ frac {1}{6}}cdot 1 { frac {1}{6}}cdot 2 { frac {1}{6}}cdot 3 { frac {1}{6}}cdot 4 { frac {1}{6}}cdot 5 { frac {1}{6}}cdot 6=3{ frac {1}{2}}}$

Die möglichen Abweichungen von der erwarteten Augenzahl sind:

${displaystyle 1-3{ frac {1}{2}}=-2{ frac {1}{2}}}$

${displaystyle 2-3{ frac {1}{2}}=-1{ frac {1}{2}}}$

${displaystyle 3-3{ frac {1}{2}}=-{ frac {1}{2}}}$

${displaystyle 4-3{ frac {1}{2}}={ frac {1}{2}}}$

${displaystyle 5-3{ frac {1}{2}}=1{ frac {1}{2}}}$

${displaystyle 6-3{ frac {1}{2}}=2{ frac {1}{2}}}$

die jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/6 auftreten. Die (Bevölkerungs-) Varianz ${Displaystil-Sigma ^{2}}$ ist deshalb:

${displaystyle sigma ^{2}={ frac {1}{6}}(-2{ frac {1}{2}})^{2} { frac {1}{6}}(-1{ frac {1 }{2}})^{2} { frac {1}{6}}(-{ frac {1}{2}})^{2} { frac {1}{6}}({ frac {1} {2}})^{2} { frac {1}{6}}(1{ frac {1}{2}})^{2} { frac {1}{6}}(2{ frac {1} {2}})^{2}={ frac {35}{12}}.}$

Die (Populations-)Standardabweichung ${Displaystil-Sigma}$ ist dann:

${displaystyle sigma ={sqrt { frac {35}{12}}}ungefähr 1{,}71}$,

ein Wert zwischen den möglichen positiven Abweichungen.

Stichprobe

Um die Varianz in einer Grundgesamtheit oder Wahrscheinlichkeitsverteilung zu berechnen, werden alle Werte benötigt. Diese sind jedoch oft nicht verfügbar und die Varianz geschätzt auf der Grundlage von a zufällige Probe. Man berechnet als Schätzwert die Stichprobenvarianz, bezeichnet mit schatting ${displaystyle s^{2}}$ und definiert durch:

${displaystyle s^{2}={frac {1}{n-1}}sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{ar {x}})^{2}}$

Darin ist ${displaystyle n}$ die Stichprobengröße, ${displaystyle x_{i}}$ die Beispielelemente und ${displaystyle {ar {x}}}$ der Stichprobenmittelwert.

Auch für ${displaystyle s^{2}}$ Gibt es eine praktischere Berechnungsformel:

${displaystyle s^{2}={frac {1}{n-1}}Summe x_{i}^{2}-{frac {n}{n-1}}{ ar {x}}^{2} }$

Der Vorteil dieser Version ist, dass man bei der Verarbeitung der Stichprobenergebnisse den Mittelwert und die Varianz in einem Arbeitsgang berechnen kann (mit der ersten Formel müsste man die Wertereihe zweimal durchlaufen).

Die so definierte Stichprobenvarianz ist ein sogenanntes reiner Schätzer der Varianz. Dies bedeutet, dass bei vielen Wiederholungen der Mittelwert der Schätzungen gegen die zu schätzende Varianz konvergiert.

In der niederländischen statistischen Terminologie lautet der Schätzer jedoch auch:

${displaystyle s_{n}^{2}={frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{ar {x}})^{2}}$

als Stichprobenvarianz bezeichnet. Dieser Schätzer, der tatsächlich den Mittelwert der quadrierten Abweichungen vom Stichprobenmittelwert berechnet, kann als Populationsvarianz der Stichprobe als Grundgesamtheit verstanden werden. Wie man leicht erkennen kann, ist dieser Schätzer nur ein Differenzfaktor ${Anzeigestil (n-1)/n}$ des Vorgenannten. Praktisch gesehen und sicherlich, wenn die Stichprobengröße ${displaystyle s^{2}}$ groß ist, gibt es kaum Unterschiede zwischen den beiden Schätzern. der Schätzer ${displaystyle s_{n}}$ ist natürlich nicht mehr rein. Es ist jedoch die sogenannte wahrscheinlicher Schätzer der Varianz bei Normalverteilung.

Da sowohl die Reinheit als auch die Plausibilität eines Schätzers theoretisch wichtige Eigenschaften sind, führten Meinungsverschiedenheiten zwischen den damaligen Statistikprofessoren dazu, dass beide Schätzer als Stichprobenvarianz bezeichnet wurden.

Beispiele

Beispiel 1

Lassen Sie uns den 6-seitigen Würfel 10 Mal würfeln, was zu den Augenzahlen führt:

${Anzeigestil 3, 5, 3, 1, 6, 4, 1, 3, 2, 4,}$

dann ist der Stichprobenmittelwert:

${displaystyle { ar {x}}={ frac {1}{10}}(3 5 3 1 6 4 1 3 2 4)=3{,}2}$

Die Abweichungen von der mittleren Augenzahl sind:

${Anzeigestil 3-3{,}2=-0{,}2}$

${Anzeigestil 5-3{,}2= 1{,}8}$

${Anzeigestil 3-3{,}2=-0{,}2}$

${Anzeigestil 1-3{,}2=-2{,}2}$

${Anzeigestil 6-3{,}2= 2{,}8}$

${Anzeigestil 4-3{,}2= 0{,}8}$

${Anzeigestil 1-3{,}2=-2{,}2}$

${Anzeigestil 3-3{,}2=-0{,}2}$

${Displaystil 2-3{,}2=-1{,}2}$

${Anzeigestil 4-3{,}2= 0{,}8}$

Die (Beispiel-) Varianz ist also:

${displaystyle s^{2}={ frac {1}{9}}left((-0{,}2)^{2} 1{,}8^{2} (-0{,}2)^{ 2} (-2{,}2)^{2} 2{,}8^{2} 0{,}8^{2} (-2{,}2)^{2} (-0{,} 2)^{2} (-1{,}2)^{2} 0{,}8^{2}ight)ca. 2{,}62}$

und die (Stichproben-)Standardabweichung ${displaystyle s}$ ist:

${displaystyle sapprox {sqrt {2{,}62}}ca. 1{,}62}$

Beispiel 2

Eine Probe in der Größe von ${Anzeigestil n=5}$ liefert die Ergebnisse 1, 2, 3, 4, 5. Also ${displaystyle {ar {x}}=3}$. Die Abweichung ist

${displaystyle s^{2}={frac {1}{5-1}}left((1-3)^{2} (2-3)^{2} (3-3)^{2} (4 -3)^{2} (5-3)^{2}Nacht)}$${displaystyle ={ frac {1}{4}}links(4 1 0 1 4ight)=2{ frac {1}{2}}}$

und die (Stichproben-)Standardabweichung so ist:

${displaystyle s={sqrt {2{,}5}}ungefähr 1{,}58}$

Wahrscheinlichkeitsverteilung

Wenn die Bevölkerungsverteilung gegeben ist als Wahrscheinlichkeitsverteilung von a stochastische Variable${Anzeigestil X}$, ist die Varianz (von ${Anzeigestil X}$) definiert als die erwarteter Wert der quadratischen Abweichungen des Erwartungswertes von ${Anzeigestil X}$:

${Displaystyle-Operatorname {var} (X)=Operatorname {E} [(X-Operatorname {E} [X])^{2}]}$.

Hier ist eine weitere alternative Berechnungsformel:

${displaystyle operatorname {var} (X)=operatorname {E} [X^{2}]-operatorname {E} [X]^{2}}$.

Analogie

In dem Mechanik ist das Analogon der Varianz it Trägheitsmoment eines Objekts, d. h. von a Massenverteilung.

die elektrische Leistung von einem reinen Wechselstrom, also Mittelwert 0, ist proportional zum mittleren Quadrat der Spannung, also eine Konstante mal die Varianz dieses Signals.

Siehe auch

• Erwartungswert
• Kovarianz
• Korrelation