WikiDer > Kumulant

In dem Wahrscheinlichkeit werde der Kumulanten von a stochastische Variable${Anzeigestil X}$ oder ein Wahrscheinlichkeitsverteilung gezeugt von der kumulative erzeugende Funktion${displaystyle K_{X}}$, definiert als die natürlicher Logarithmus des momenterzeugende Funktion${displaystyle M_{X}}$, falls vorhanden; dann ist:

${displaystyle K_{X}(t)=ln M_{X}(t)=ln Operatorname {E} left(e^{tX}ight).}$

Das ${displaystyle n}$-das kumulativ${displaystyle kappa _{n}(X)}$ ist dann definiert durch:

${displaystyle kappa_{n}(X)={frac {{m {d}}^{n}}{{m {d}}t^{n}}}K_{X}(t){igg |} _{t=0}}$.

Direkte Berechnung lehrt:

${displaystyle kappa _{1}(X)=mathrm {E} X}$

und

${displaystyle kappa _{2}(X)=Operatorname {var} (X)}$.

wird genannt ${displaystyle mathrm {E} X=mu}$ und ${displaystyle mathrm {var} (X)=sigma ^{2}}$, dann ist die Maclaurin-Reihe-Entwicklung der kumulativen Erzeugungsfunktion:

${displaystyle K(t)=sum _{n=1}^{infty}kappa _{n}{frac {t^{n}}{n!}}=mut sigma ^{2}{frac {t^ {2}}{2}} ldots .}$

Alternativ können Kumulationen auch über die charakteristische Funktion

${displaystyle varphi _{X}(t)=Operatorname {E} left(e^{itX}ight).}$

Es gilt:

${displaystyle kappa _{n}(X)={frac {1}{i^{n}}}{frac {{m {d}}^{n}}{{m {d}}t^{n} }}ln varphi _{X}(t){igg |}_{t=0}}$

Beispiele

Für die Normalverteilung mit Parametern ${Anzeigestil mu}$ und ${Displaystil-Sigma ^{2}}$ ist die momenterzeugende Funktion:

${displaystyle M(t)=e^{mut {frac {1}{2}}sigma ^{2}t^{2}},}$

so dass die kumulierte erzeugende Funktion gleich ist

${displaystyle K(t)=mut { frac {1}{2}}sigma ^{2}t^{2}.}$

Die Kumulanten sind also:

${displaystyle kappa _{1}=mu ,quad kappa _{2}=sigma ^{2}}$ und für ${displaystyle ngeq 3:kappa_{n}=0}$

Alle Kumulanten der Ordnung größer als 2 sind gleich 0, eine Eigenschaft, die für die Normalverteilung charakteristisch ist.

Für die Poisson-Verteilung ist

${displaystyle M(t)=sum _{k=0}^{infty }{frac {mu ^{k}}{k!}}e^{-mu}e^{kt}=e^{-mu} e^{mu e^{t}}}$,

So

${Anzeigestil K(t)=mu (e^{t}-1).}$

Alle Kumulanten sind einander gleich; für alle ${displaystyle n}$ ist:

${displaystyle kappa _{n}=mu .}$

Eigenschaften

Invarianz für Schichten

Kumulanten gelten als Semiinvarianten des Wahrscheinlichkeitsdichte${Anzeigestil f(x)}$ angegeben, da mit Ausnahme von ${Displaystil-Kappa _{1}}$, mit einer Verschiebung der erwarteter Wert Ändere dich nicht. Für eine beliebige Konstante ${displaystyle cin mathbb {R} }$ gilt:

${Anzeigestil Kappa _{1}(X c)=Kappa _{1}(X) c}$

und für ${Anzeigestil n>1}$

${Anzeigestil Kappa _{n}(X c)=Kappa _{n}(X)}$

Homogenität

Das ${displaystyle n}$- die Kumulante ist homogen des Abschlusses ${displaystyle n}$. Für eine beliebige Konstante ${displaystyle cin mathbb {R} }$ gilt:

${Anzeigestil Kappa _{n}(cX)=c^{n}Kappa _{n}(X).}$

Additiv

wenn ${displaystyle X_{1}}$ und ${displaystyle X_{2}}$ unabhängige stochastische Variablen, sofern die Kumulanten existieren:

${displaystyle kappa_{n}(X_{1} X_{2})=kappa_{n}(X_{1}) kappa_{n}(X_{2}).}$

Analog gilt für a ${displaystyle n}$-zahlreiche voneinander unabhängige stochastische Variablen ${displaystyle X_{1},ldots ,X_{n}}$

${displaystyle kappa _{n}left(sum _{i=1}^{n}X_{i}ight)=sum _{i=1}^{n}kappa _{n}(X_{i})}$

Diese Eigenschaften ergeben sich direkt aus der Definition über die charakteristische Funktion, da die charakteristische Funktion der obigen Summen das Produkt der einzelnen charakteristischen Funktionen ist.

Anzahl der Kumulanten ungleich 0

Im Beispiel sind nur die ersten beiden Kumulanten der Normalverteilung ungleich 0. Trivialerweise sind auch alle Kumulanten außer der ersten bei einer entarteten Verteilung gleich 0. Außer diesen beiden Fällen gibt es keine andere Verteilung mit nur endlich vielen Kumulanten ungleich 0

Geschichte

Kumulanten und ihre Eigenschaften wurden erstmals 1889 von den Dänen beschrieben MathematikerThorvald Nicolai Thiele in einem auf Dänisch erschienenen Buch.^[1] Dadurch blieben die Ergebnisse lange Zeit unbekannt, so dass Felix Hausdorff noch 1901 bezeichnete er diese Kennzahlen in einem Artikel als „neu eingeführt“.^[2]

Literatur

• Jörg Bewersdorff: Statistik – wer und was funktioniert. Ein mathematisches Lesebuch. Vieweg Teubner Verlag 2011, ISBN 978-3834817532 , DOI:10.1007/978-3-8348-8264-6, S. 68-70.
• Crispin W. Gardiner: Stochastische Methoden: ein Handbuch für die Natur- und Sozialwissenschaften. Springer, 2009. ISBN 978-3-540-70712-7, S. 33-35.
• M. Abramowitz, I. A. Stegun: Handbuch mathematischer Funktionen mit Formeln, Graphen und mathematischen Tabellen. Dover, 1965. ISBN 978-0-486-61272-0

Verweise

1. ↑Thorvald Nicolai Thiele: Forelæsninger über almindelig Iagttagelseslære: Sandsynlighedsregning og mindste Kvadraters Method, Kopenhagen 1889.
2. ↑Felix Hausdorff: Gesammelte Werke, Band V: Astronomy, Optik und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2006, ISBN 978-3-540-30624-5, S. 544, 577.