WikiDer > Winkelhalbierende

Die Winkelhalbierende eines mit Zirkel und Lineal gezeichneten Winkels

Die Winkelhalbierende teilt die gegenüberliegende Seite im Verhältnis zu den benachbarten Seiten
BD : DC = AB : AC

Innen- und Außenhalbierende

Das Winkelhalbierende oder Trennlinie von a Ecke ist in der Geometrie das Linie was diesen Winkel in zwei gleiche Winkel teilt. Die Winkelhalbierende ist auch die Ort der Punkte mit gleichem Entfernungen zu den Beinen der Ecke.

Konstruktion

Die Winkelhalbierende kann wie folgt bestimmt werden: Konstruktion mit Kompass und Herrscher:

1. Platzieren Sie die Himmelsrichtung auf dem Scheitel und zeichne ein Kreis mit einem zufälligen Strahl;
2. Markieren Sie die beiden Kreuzungen dieses Kreises mit beiden Schenkeln des Winkels;
3. Platzieren Sie die Himmelsrichtung auf jedem dieser beiden Beine nacheinander an diesen Schnittpunkten und zeichnen Sie zwei Kreise mit gleichem Radius.
4. Zeichnen Sie mit einem Lineal eine Linie vom Scheitelpunkt durch die Schnittpunkte der beiden Kreise; diese Linie ist die Winkelhalbierende

Dreieck

In einem Dreieck gehen die Winkelhalbierenden der drei Winkel durch einen Punkt, den Center des eingeschriebener Kreis. Daraus folgt direkt, dass auf den drei Winkelhalbierenden die Punkte mit gleichem Abstand von den Winkelschenkeln liegen.

Eine Winkelhalbierende in einem Dreieck teilt die gegenüberliegende Seite im Verhältnis der benachbarten Seiten (siehe Winkelhalbierendes Theorem). Dies gilt sowohl für die innere als auch für die äußere Winkelhalbierende, also in der nebenstehenden Abbildung

${displaystyle {frac {BD}{DC}}={frac {AB}{AC}}}$.

Die Länge ${displaystyle d_{a}}$ der Winkelhalbierenden ein wird gegeben von

${displaystyle d_{a}={sqrt {bcleft(1-{frac {a^{2}}{(b c)^{2}}}ight)}}}$

Innen- und Außenhalbierende

Wenn wir die Halbrechte, die einen Winkel zu Linien bilden, erweitern, haben wir insgesamt vier Winkel. Die Winkelhalbierende der beiden benachbarten Winkel ist aufrecht auf der ursprünglichen Winkelhalbierenden und wird äußere Winkelhalbierende genannt. Zur Unterscheidung wird die normale Winkelhalbierende als innere Winkelhalbierende bezeichnet. Die innere und äußere Winkelhalbierende bilden zusammen den Ort der Punkte, die von den den Winkel bildenden Linien gleich weit entfernt sind.

Es Center von a adressierter Kreis wird durch Schneiden von zwei äußeren Winkelhalbierenden des Dreiecks gefunden und liegt auf der inneren Winkelhalbierenden des dritten Winkels.

Externer Link

• Bert De Decker, Beweis: Winkelhalbierende zweier sich schneidender Geraden (pdf) (13. Mai 2010).