WikiDer > Категория многообразий

В математика, то категория многообразий, часто обозначаемый мужчина^п, это категория чей объекты находятся коллекторы из класс гладкости C^п и чей морфизмы находятся п-раз непрерывно дифференцируемые карты. Это категория, потому что сочинение из двух C^п карты снова непрерывны и имеют класс C^п.

Часто интересует только C^п-многообразия, смоделированные на пространствах фиксированной категории А, а категория таких многообразий обозначается мужчина^п(А). Точно так же категория C^п-многообразия, моделируемые на фиксированном пространстве E обозначается мужчина^п(E).

Можно также говорить о категории гладкие многообразия, мужчина^∞, или категория аналитические многообразия, мужчина^{ﾏ мужчина}.

п ^{это конкретная категория}Как и многие категории, категория

мужчина п ^этоконкретная категория , то есть его объектынаборы с дополнительной структурой (т.е.топология икласс эквивалентности изатласы изграфики определениеC п^{-дифференцируемая структура) и ее морфизмы}функции сохраняя эту структуру. Есть естественныйзабывчивый функтор U

мужчина : п^{Вершина} → к

категория топологических пространств который сопоставляет каждому многообразию основное топологическое пространство и каждомуп -кратно непрерывно дифференцируемая функция, лежащая в основе непрерывной функции топологических пространств. Точно так же существует естественный забывчивый функторU

мужчина′ : п^Набор → к

категория наборов который присваивает каждому многообразию базовое множество и каждомуп -размерно непрерывно дифференцируемая функция, лежащая в основе.Точечные многообразия и функтор касательного пространства

Часто бывает удобно или необходимо работать с категорией многообразий вместе с выделенной точкой:

мужчина п_• ^{аналогично}Вершина - в_•категория остроконечных пространств . Объектымужчина п_• ^парыM $куда$M $это$C $многообразие вместе с базовой точкой$п $и его морфизмы сохраняют базовую точку$п -размерно непрерывно дифференцируемые карты: например,F $такой, что$F $Категория отмеченных многообразий является примером$^[1]категория запятой мужчина - п_• ^точноM $куда${displaystyle ullet} $представляет произвольный одноэлементный набор, а${displaystyle downarrow} $представляет собой карту от этого синглтона к элементу$мужчина п ^{выбор базовой точки.},Построение касательного пространства можно рассматривать как функтор от

мужчина п_• ^кVect р _{следующим образом: заданные точечные многообразия}M $и$N $с$C $карта$F $между ними мы можем назначить векторные пространства$Т $и$Т $с линейной картой между ними, заданной$pushforward (дифференциал) F: $Эта конструкция - настоящая$функтор потому что продвижение карты идентичностиM $изоморфизм векторного пространства$M^[1] $а цепное правило гарантирует, что$ж $Рекомендации$^[1]

а

• Дифференциальные коллекторы . Ридинг, штат Массачусетс, 窶 ondon 窶 泥 on Mills, Ont .: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.Ту, Лоринг В. (2011).
• Введение в многообразия . Springer Нью-Йорк Дордрехт Гейдельберг ЛондонЭтот

теория категорий -связанная статья являетсязаглушка . Вы можете помочь Википедиирасширяя это v. т е Математика