WikiDer > Chinesischer Restsatz

In dem Zahlentheorie, eine Unterregion der Mathematik, bestimmt die Chinesischer Restsatz ein Nummernein das für jede von einer Reihe von Daten Teiler das unter sich relativ prim schlagen Einteilung daher gegeben sich ausruhen zurück lassen.

Formaler sagt das Gestell dass ein System Kongruenzgleichungen in dem ganze Zahl${Anzeigestil x}$:

${displaystyle xequiv r_{i}{ mod {d}}_{i},quad i=1,ldots,n}$

für Teiler ${displaystyle d_{i}}$ die relativ prim sind, hat eine Lösung. Der Satz gibt auch an, wie die Lösung gefunden werden kann.

Was ist zum Beispiel die kleinste Zahl? ${Anzeigestil x}$ dass bei einer Division durch 3 ein Rest 2, bei einer Division durch 5 ein Rest 3 und schließlich bei einer Division durch 7 ein Rest 2 entsteht? Die Antwort ist 23.

Geschichte

Der Satz wurde erstmals im vierten Jahrhundert n. Chr. beschrieben. bis zum ChinesischMathematikersunzi (孫子) in seinem Sunzi Suanjing (孫子算經, "Das arithmetische Handbuch von Meister Sun"). Der Satz wurde 1247 erneut veröffentlicht, diesmal von der Chinesisch Mathematiker Qin Jiushao, in seinem "Mathematische Abhandlung in neun Abschnitten".

Prinzip

spät ${displaystyle n_{1},ldots ,n_{k}}$ positive ganze Zahlen sind die paarweise relativ prim sein (was bedeutet, dass kein Paar einen anderen gemeinsamen Teiler als 1 hat). Dann gilt für jeden ${displaystyle k}$-Anzahl der ganzen Zahlen ${displaystyle a_{1},ldots ,a_{k}}$, dass es eine ganze Zahl ${Anzeigestil x}$ existiert, das ist die Lösung des Systems von gleichzeitige Kongruenzen:

${displaystyle xequiv a_{i}{ mod {n}}_{i},quad i=1,ldots ,k}$

Darüber hinaus sind alle Lösungen ${Anzeigestil x}$ dieses Systems wechselseitig kongruent modulo das Produkt ${displaystyle n=n_{1}cdot ldots cdot n_{k}}$.

Eine Lösung ${Anzeigestil x}$ findet sich wie folgt. Für jedes ${Anzeigestil i}$ sind die ganzen Zahlen ${displaystyle n_{i}}$ und ${Displaystil N_{i}=n/n_{i}}$ relativ prim, so dass mit (einer Erweiterung von) der Euklidischer Algorithmus ganze Zahlen ${displaystyle r_{i}}$ und ${displaystyle s_{i}}$ finden, für die gilt:

${displaystyle r_{i}cdot n_{i} s_{i}cdot N_{i}=1}$

Name jetzt ${displaystyle e_{j}=s_{j}cdot N_{j}}$, dann ist: ${displaystyle e_{i}äquivalent 1{ mod {n}}_{i}}$ und ${displaystyle e_{i}äquivalent 0{ mod {n}}_{j}}$ für alle ${displaystyle jeq i}$.

Die Nummer ${displaystyle x=sum _{i=1}^{k}a_{i}e_{i}}$ bildet dann die gewünschte Lösung des Systems der simultanen Kongruenzen.

Beispiel

Betrachten Sie als Beispiel das Problem, dass eine ganze Zahl X wird gesucht, was das gilt

${displaystyle xequiv 2{pmod {3}}}$

${displaystyle xequiv 3{pmod {4}}}$

${displaystyle xequiv 2{pmod {5}}}$,

d.h. finde eine Zahl (bedeutet: die kleinste Zahl), die bei Division durch 3 einen Rest von 2, bei Division durch 4 einen Rest von 3 und bei Division durch 5 einen Rest von 2 übrig lässt.

Anwenden (eine Erweiterung) der Euklidischer Algorithmus für 3 und 4 x 5 = 20, ergibt (-13) x 3 2 x 20 = 1 (${displaystyle e_{1}=40}$). Die Anwendung des euklidischen Algorithmus für 4 und 3 x 5 = 15 ergibt (-11) x 4 3 x 15 = 1 (${displaystyle e_{2}=45}$). Und die Anwendung des euklidischen Algorithmus für 5 und 3 x 4 = 12 ergibt 5 x 5 (-2) x 12 = 1 (${displaystyle e_{3}=-24}$). Eine Lösung X ist also zum Beispiel 2 x 40 3 x 45 2 x (-24) = 167. Alle anderen Lösungen sind kongruent mit 167 modulo 60, also alle kongruent mit 47 modulo 60, d.h. die gesuchte Zahl ist 47.

Beachten Sie, dass einige Systeme der Form (1) sind sogar lösbar, wenn die Zahlen nein_ich sind nicht paarweise relativ prim. Das genaue Kriterium ist wie folgt: Es gibt eine Lösung Xdann und nur dann, wennein_ich${Anzeigestil-Äquiv.}$ein_ja (mod gcd(nein_ich, nein_ja)) für alle ich und ja. Alle Lösungen X sind kongruent modulo het kleinstes gemeinsames Vielfaches des nein_ich.

Externer Link

• (und) Ch'in Chiu-Shao