WikiDer > Описанная сфера

Circumscribed sphere
Описанная сфера куб

В геометрия, а ограниченная сфера из многогранник это сфера который содержит многогранник и касается каждой из вершин многогранника.[1] Слово окружающая сфера иногда используется для обозначения одного и того же.[2] Как и в случае двумерного описанные круги, радиус сферы, описанной вокруг многогранника п называется по окружности из п,[3] и центральная точка этой сферы называется центр окружности изп.[4]

Существование и оптимальность

Когда он существует, ограниченная сфера не обязательно должна быть наименьшая сфера, содержащая многогранник; например, тетраэдр, образованный вершиной куб и его три соседа имеют ту же описанную сферу, что и сам куб, но могут содержаться в меньшей сфере, имеющей три соседние вершины на экваторе. Однако наименьшая сфера, содержащая данный многогранник, всегда является описанной сферой выпуклый корпус подмножества вершин многогранника.[5]

В De solidorum elementis (около 1630 г.), Рене Декарт заметил, что для многогранника с описанной сферой все грани имеют описанные круги, круги, где плоскость грани встречается с описанной сферой. Декарт предположил, что этого необходимого условия для существования описанной сферы достаточно, но это неверно: некоторые бипирамидынапример, могут иметь описанные окружности для своих граней (все из которых являются треугольниками), но при этом не иметь описанной сферы для всего многогранника. Однако всякий раз, когда простой многогранник имеет описанную окружность для каждой грани, а также описанную сферу.[6]

Связанные понятия

Описанная сфера является трехмерным аналогом описанный круг.Все правильные многогранники имеют описанные сферы, но большинство неправильных многогранников не имеют одной, поскольку, как правило, не все вершины лежат на одной сфере. Описанная сфера (если она существует) является примером ограничивающая сфера, сфера, содержащая заданную форму. Можно определить наименьшую ограничивающую сферу для любого многогранника и вычислить ее в линейное время.[5]

Другие сферы, определенные для некоторых, но не всех многогранников, включают средняя сфера, касательная ко всем ребрам многогранника сфера и вписанная сфера, касательная ко всем граням многогранника сфера. в правильные многогранники, вписанная сфера, мидсфера и описанная сфера все существуют и являются концентрический.[7]

Когда описанная сфера - это множество бесконечных предельных точек гиперболическое пространство, многогранник, который он описывает, известен как идеальный многогранник.

Рекомендации

  1. ^ Джеймс, Р. К. (1992), Математический словарь, Springer, стр. 62, ISBN 9780412990410.
  2. ^ Попко, Эдвард С. (2012), Разделенные сферы: геодезические и упорядоченное деление сферы, CRC Press, стр. 144, ISBN 9781466504295.
  3. ^ Смит, Джеймс Т. (2011), Методы геометрии, John Wiley & Sons, стр. 419, г. ISBN 9781118031032.
  4. ^ Альтшиллер-Корт, Натан (1964), Современная чистая твердотельная геометрия (2-е изд.), Chelsea Pub. Co., стр. 57.
  5. ^ а б Фишер, Каспар; Гертнер, Бернд; Куц, Мартин (2003), «Быстрое вычисление наименьшего охватывающего шара в больших измерениях», Алгоритмы - ESA 2003: 11-й ежегодный европейский симпозиум, Будапешт, Венгрия, 16-19 сентября 2003 г., Материалы (PDF), Конспект лекций по информатике, 2832, Springer, стр. 630–641, Дои:10.1007/978-3-540-39658-1_57.
  6. ^ Федерико, Паскуале Жозеф (1982), Декарт о многогранниках: исследование «De solidorum elementis», Источники по истории математики и физических наук, 4, Springer, стр. 52–53.
  7. ^ Кокстер, Х. С. М. (1973), «2.1 Правильные многогранники; 2.2 Взаимное движение», Правильные многогранники (3-е изд.), Довер, стр.16–17, ISBN 0-486-61480-8.

внешняя ссылка