WikiDer > Бипирамида - Википедия
«Обычное» правое (симметричное) п-гональные бипирамиды | |
---|---|
Диаграмма Кокстера | |
Символ Шлефли | { } + {п}[1] |
Лица | 2п конгруэнтный равнобедренный треугольники |
Края | 3п |
Вершины | 2 + п |
Конфигурация лица | V4.4.п |
Группа симметрии | Dпчас, [п,2], (*п22), порядок 4п |
Группа вращения | Dп, [п,2]+, (п22), порядок 2п |
Двойной многогранник | (выпуклый) униформа ("обычное" право) п-угольная призма |
Характеристики | выпуклый, лицо переходный, правильные вершины[2] |
Сеть |
А (симметричный) п-гональный бипирамида или же дипирамида это многогранник сформированный путем присоединения к п-гональный пирамида и это зеркальное изображение от базы к базе.[3][4] An п-гональная бипирамида имеет 2п треугольник лица, 3п ребра и 2+п вершины.
Упомянутый п-угольник в названии бипирамиды - это не грань, а внутреннее основание многоугольника, лежащее в плоскости зеркала, соединяющей две половины пирамиды. (Если бы это была грань, то каждое ее ребро соединяло бы три грани вместо двух.)
«Обычные», правые бипирамиды
А "обычный" бипирамида имеет обычный основание многоугольника. Обычно подразумевается, что это также верно бипирамида.
А верно бипирамида имеет две вершины верно выше и верно ниже центра или центроид основания его многоугольника.
«Правильное» право (симметричное) п-гональная бипирамида имеет символ Шлефли { } + {п}.
Правая (симметричная) бипирамида имеет символ Шлефли {} + P, для основания многоугольника P.
«Обычное» право (таким образом лицо переходный) п-угольная бипирамида с правильными вершинами[2] это двойной из п-гональная форма (значит правая) призма, и имеет конгруэнтный равнобедренный треугольник лица.
«Правильное» право (симметричное) п-гональная бипирамида может быть прогнозируемый на сфере или глобус как "правильное" право (симметричное) п-гональный сферическая бипирамида: п равномерно расположенные линии долгота идущий от столб к полюсу, и экватор линия деление пополам их.
Имя | Дигональная бипирамида | Треугольная бипирамида (J12) | Квадратная бипирамида (O) | Пятиугольная бипирамида (J13) | Гексагональная бипирамида | Гептагональная бипирамида | Восьмиугольная бипирамида | Эннеагональная бипирамида | Десятиугольная бипирамида | ... | Апейрогональная бипирамида |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Многогранник изображение | ... | ||||||||||
Сферическая черепица изображение | Плоская черепица изображение | ||||||||||
Конфигурация лица | V2.4.4 | V3.4.4 | V4.4.4 | V5.4.4 | V6.4.4 | V7.4.4 | V8.4.4 | V9.4.4 | V10.4.4 | ... | V∞.4.4 |
Диаграмма Кокстера | ... |
Бипирамиды равностороннего треугольника
Только три вида бипирамид могут иметь все ребра одинаковой длины (что означает, что все грани имеют одинаковую длину). равносторонние треугольники, а значит, бипирамида является дельтаэдр): «правильная» правая (симметричная) треугольный, четырехугольный, и пятиугольник бипирамиды. Тетрагональная или квадратная бипирамида с ребрами одинаковой длины, или правильный октаэдр, входит в число Платоновы тела; треугольные и пятиугольные бипирамиды с ребрами одинаковой длины считаются Твердые тела Джонсона (J12 и J13).
«Обычное» правое (симметричное) название бипирамиды | Треугольная бипирамида (J12) | Тетрагональная бипирамида (Правильный октаэдр) | Пятиугольная бипирамида (J13) |
---|---|---|---|
Изображение бипирамиды |
Калейдоскопическая симметрия
А "обычное" право (симметричный) п-гональная бипирамида имеет двугранная симметрия группа Dпчас, порядка 4п, кроме случая правильный октаэдр, у которого больше октаэдрическая симметрия группа Oчас, порядка 48, который имеет три версии D4ч как подгруппы. В группа ротации это Dп, порядка 2п, за исключением случая правильного октаэдра, который имеет большую группу вращения O порядка 24, который имеет три версии D4 как подгруппы.
В 4п треугольник лица "правильной" правой (симметричной) 2п-гональная бипирамида, проектируемая как 4п сферический треугольник грани "правильной" правой (симметричной) 2п-гональный сферический бипирамиды, представляют собой фундаментальные области двугранная симметрия в трех измерениях: Dпчас, [п,2], (*п22), порядок 4п. Эти области можно отобразить в виде сферических треугольников с чередованием цветов:
- в плоскости отражения через кокциклический края, области зеркального отображения разного цвета (непрямая изометрия);
- о пось поворота через противоположный вершины, домен и его изображение одного цвета (прямая изометрия).
An п-гональную (симметричную) бипирамиду можно рассматривать как Kleetope «соответствующих» п-гональный диэдр.
Dпчас | D1 час | D2ч | D3ч | D4ч | D5ч | D6ч | ... |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Изображение фундаментальных доменов | ... |
Объем
Объем (симметричной) бипирамиды:
куда B площадь основания и час высота от базовой плоскости до вершины.
Это работает для любой формы основания и для любого местоположения вершины при условии, что час измеряется как перпендикуляр расстояние от самолет который содержит внутреннюю основу многоугольника. Следовательно:
Объем (симметричной) бипирамиды, основанием которой является обычный п-сторонний многоугольник с длиной стороны s и чей рост час:
Косые бипирамиды
Неправые бипирамиды называются косые бипирамиды.
Вогнутые бипирамиды
А вогнутый бипирамида имеет вогнутый основание многоугольника.
(*) В его базе нет очевидных центроид; если его вершины не верно выше / ниже центра тяжести его основания, это не верно бипирамида. Во всяком случае, это вогнутый октаэдр.
Асимметричные / перевернутые правые бипирамиды
An асимметричный верно бипирамида присоединяется к двум верно пирамиды с конгруэнтными основаниями, но неравной высотой от основания к основанию.
An перевернутый верно бипирамида присоединяется к двум верно пирамиды с конгруэнтными основаниями, но разной высоты, от основания к основанию, но на одной стороне от их общего основания.
В двойной асимметричной или перевернутой правой бипирамиды является усеченный.
"Правильная" асимметричная / перевернутая правая п-гональная бипирамида имеет группу симметрии Cпv, порядка 2п.
Асимметричный | Перевернутый |
---|---|
Бипирамиды скален-треугольник
An "изотоксальный" верно (симметричный) ди-п-гональная бипирамида - это верно (симметричный) 2п-гональная бипирамида с изотоксальный плоское основание многоугольника: его 2п вершины вокруг сторон копланарны, но чередуются на двух радиусах.
"Изотоксальный" правый (симметричный) ди-п-гональная бипирамида имеет п оси двукратного вращения через вершины по сторонам, п плоскости отражения через вершины и вершины, п-сложная ось вращения через вершины, плоскость отражения через основание и п-складывать вращение-отражение ось через вершины,[4] представляющая группу симметрий Dпчас, [п,2], (*22п) порядка 4п. (Отражение в базовой плоскости соответствует вращению-отражению 0 °. Если п четное, имеется симметрия относительно центра, соответствующая повороту-отражению на 180 °.)
Все его лица конгруэнтный разносторонние треугольники, и это равногранный. Его можно рассматривать как еще один тип правильных «симметричных» ди-п-гональный скаленоэдр.
Примечание: не более двух значений высоты вершины треугольные грани могут быть равнобедренными.
Пример:
- «Изотоксальная» правая (симметричная) «дидигональная» (*) бипирамида с базовыми вершинами:
- U (1; 0; 0), U '(- 1; 0; 0), V (0; 2; 0), V' (0; -2; 0),
- и с вершинами:
- А (0; 0; 1), А '(0; 0; -1),
- имеет две разные длины кромки:
- ,
- ,
- ;
- таким образом, все его треугольные грани равнобедренные.
- «Изотоксальная» правая (симметричная) «дидигональная» (*) бипирамида с такими же базовыми вершинами, но с высотой вершины: 2, также имеет две разные длины ребер: , .
В кристаллографиясуществуют «изотоксальные» правые (симметричные) «дидигональные» (*) (8-гранные), дитригональные (12-гранные), дитетрагональные (16-гранные) и бигексагональные (24-гранные) бипирамиды.[4][3]
(*) Наименьший геометрический диаметрп-гональные бипирамиды имеют восемь граней и топологически идентичны правильный октаэдр. В этом случае (2п = 2×2):
«изотоксальная» правая (симметричная) «дидигональная» бипирамида называется ромбическая бипирамида,[4][3] хотя все его грани представляют собой разносторонние треугольники, потому что его плоское основание многоугольника представляет собой ромб.
Скаленоэдры
А «правильная» правая «симметричная» ди-п-гональный скаленоэдр можно сделать с обычный зигзагообразный перекос 2п-гонная основа, два симметричный вершины верно выше и верно ниже центра основания и треугольные грани, соединяющие каждый край основания с каждой вершиной.
Имеет две вершины и 2п вершины по сторонам, 4п лица и 6п края; он топологически идентичен 2п-гональная бипирамида, но ее 2п вершины по сторонам чередуются в два кольца выше и ниже центра.[3]
«Правильная» правая «симметричная» ди-п-гональный скаленоэдр имеет п оси двукратного вращения через средние кромки по бокам, п плоскости отражения через вершины и вершины, п-сложная ось вращения через вершины, а п-складывать вращение-отражение ось через вершины,[4] представляющая группу симметрии Dпv = Dпd, [2+,2п], (2*п) порядка 4п. (Если n нечетное, существует симметрия относительно центра, соответствующая повороту-отражению на 180 °.)
Все его лица конгруэнтный разносторонние треугольники, и это равногранный. Это можно рассматривать как еще один тип правильных «симметричных» 2п-гональная бипирамида, с обычный зигзагообразный перекос основание многоугольника.
Примечание: не более двух значений высоты вершины треугольные грани могут быть равнобедренный.
В кристаллографиясуществуют «правильные» правые «симметричные» «дидигональные» (8-гранные) и дитригональные (12-гранные) скаленоэдры.[4][3]
Наименьшие геометрические скаленоэдры имеют восемь граней и топологически идентичны правильный октаэдр. В этом случае (2п = 2×2):
«правильный» правый «симметричный» «дидигональный» скаленоэдр называется тетрагональный скаленоэдр;[4][3] его шесть вершин можно представить как (0,0, ± 1), (± 1,0,z), (0,±1,−z), куда z - параметр от 0 до 1;
в z = 0, это правильный октаэдр; в z = 1, это дисфеноид со всеми объединенными копланарными гранями (четыре равнобедренных равнобедренных треугольника); за z > 1, он становится вогнутым.
z = 0.1 | z = 0.25 | z = 0.5 | z = 0.95 | z = 1.5 |
---|---|---|---|---|
Примечание: если 2поснование -угольник одновременно является изотоксальным внутрь-наружу и зигзагообразно перекосом, тогда нет все треугольные грани "изотоксального" правого "симметричного" тела конгруэнтны.
Пример: твердое тело с изотоксальным зигзагом внутрь-наружу перекосит базовые вершины 2 × 2-угольника:
U (1; 0; 1), U '(- 1; 0; 1), V (0; 2; -1), V' (0; -2; -1),
и с «правильными» симметричными вершинами:
А (0; 0; 3), А '(0; 0; -3),
имеет пять различных длин кромок:
- ,
- ,
- ,
- ,
- ;
таким образом нет все его треугольные грани конгруэнтны.
«Обычные» звездные бипирамиды
Самопересекающийся или звезда бипирамида имеет звезда многоугольник основание.
А "регулярный" правосимметричный звездную бипирамиду можно сделать с помощью обычный основание звездообразного многоугольника, два симметричный вершины верно выше и верно ниже центра основания, и, следовательно, один к одному симметричный треугольные грани, соединяющие каждую кромку основания с каждой вершиной.
"Правильная" правосимметричная звездная бипирамида имеет конгруэнтный равнобедренный треугольные грани, и равногранный.
Примечание: не более одной конкретной высоты вершины треугольные грани могут быть равносторонними.
A {п/q} -бипирамида имеет Диаграмма Кокстера .
Основание звездообразного многоугольника | 5/2-угольник | 7/2-угольник | 7/3-угольник | 8/3-угольник | 9/2-угольник | 9/4-угольник |
---|---|---|---|---|---|---|
Изображение звезды бипирамиды | ||||||
Диаграмма Кокстера |
Бипирамиды звезды треугольника скален
An "изотоксальный" правосимметричный 2п/q-гональная звездная бипирамида может быть изготовлена с помощью изотоксальный вход-выход звезда 2п/q-гонная основа, два симметричный вершины верно выше и верно ниже центра основания, и, следовательно, один к одному симметричный треугольные грани, соединяющие каждую кромку основания с каждой вершиной.
"Изотоксальный" правосимметричный 2п/q-гональная звездная бипирамида имеет конгруэнтный неравносторонний треугольные грани, и равногранный. Это можно рассматривать как еще один тип 2п/q-гональная правая «симметричная» звездный скаленоэдр.
Примечание: не более двух значений высоты вершины треугольные грани могут быть равнобедренными.
Основание звездообразного многоугольника | Изотоксальный вход-выход 8/3-угольный |
---|---|
Изображение бипирамиды звезды треугольника скален |
Звездные скаленоэдры
А «правильная» правая «симметричная» 2п/q-гональный звездчатый скаленоэдр можно составить из обычный зигзагообразный перекос звезда 2п/q-гонная основа, два симметричный вершины верно выше и верно ниже центра основания и треугольные грани, соединяющие каждый край основания с каждой вершиной.
«Правильная» правая «симметричная» 2п/q-угольная звезда скаленоэдр имеет конгруэнтный неравносторонний треугольные грани, и равногранный. Это можно рассматривать как еще один тип правильных «симметричных» 2п/q-угольная звезда-бипирамида с правильным зигзагообразным основанием из косого многоугольника.
Примечание: не более двух значений высоты вершины треугольные грани могут быть равнобедренный.
Основание звездообразного многоугольника | Обычный зигзагообразный перекос 8/3-угольник |
---|---|
Изображение звездного масштабноэдра |
Примечание: если звезда 2п/qоснование -угольник одновременно является изотоксальным внутрь-наружу и зигзагообразно перекосом, тогда нет все треугольные грани "изотоксального" правильного "симметричного" звездного многогранника конгруэнтны.
С базовыми вершинами:
U0(1; 0; 1), U1(0; 1; 1), U2(-1; 0; 1), U3(0;-1;1),
V0(2; 2; -1), В1(-2; 2; -1), В2(-2; -2; -1), В3(2;-2;-1),
и с вершинами:
А (0; 0; 3), А '(0; 0; -3),
у него четыре разных длины кромки:
- ,
- ,
- ,
- ,
- ;
таким образом нет все его треугольные грани конгруэнтны.
4-многогранники с бипирамидными ячейками
В двойной из исправление каждого выпуклые правильные 4-многогранники это клеточно-транзитивный 4-многогранник с бипирамидными клетками. В дальнейшем вершина бипирамиды - A, а вершина экватора - E. Расстояние между соседними вершинами на экваторе EE = 1, от вершины до края экватора - AE, а расстояние между вершинами - AA. 4-многогранник бипирамиды будет иметь VА вершины, где вершины NА встречаются бипирамиды. Это будет иметь VE вершины, где вершины типа E NE встречаются бипирамиды. NAE бипирамиды встречаются вдоль каждого типа А-края. NEE бипирамиды встречаются вдоль каждого типа EE ребра. CAE - косинус двугранного угла вдоль ребра АЭ. CEE это косинус двугранный угол по краю ВЭ. Поскольку клетки должны располагаться по краю, NAA потому что−1(CAA) ≤ 2π, NAE потому что−1(CAE) ≤ 2π.
Свойства 4-многогранника | Свойства бипирамиды | |||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Двойной из | Coxeter диаграмма | Клетки | VА | VE | NА | NE | NAE | NEE | Клетка | Coxeter диаграмма | AA | AE ** | CAE | CEE |
Выпрямленный 5-элементный | 10 | 5 | 5 | 4 | 6 | 3 | 3 | Треугольная бипирамида | 2/3 | 0.667 | −1/7 | −1/7 | ||
Исправленный тессеракт | 32 | 16 | 8 | 4 | 12 | 3 | 4 | Треугольная бипирамида | √2/3 | 0.624 | −2/5 | −1/5 | ||
Ректифицированный 24-элементный | 96 | 24 | 24 | 8 | 12 | 4 | 3 | Треугольная бипирамида | 2√2/3 | 0.745 | 1/11 | −5/11 | ||
Выпрямленный 120-элементный | 1200 | 600 | 120 | 4 | 30 | 3 | 5 | Треугольная бипирамида | √5 − 1/3 | 0.613 | −10 + 9√5/61 | 12√5 − 7/61 | ||
Выпрямленный 16-элементный | 24* | 8 | 16 | 6 | 6 | 3 | 3 | Квадратная бипирамида | √2 | 1 | −1/3 | −1/3 | ||
Ректифицированные соты кубической формы | ∞ | ∞ | ∞ | 6 | 12 | 3 | 4 | Квадратная бипирамида | 1 | 0.866 | −1/2 | 0 | ||
Выпрямленный 600-элементный | 720 | 120 | 600 | 12 | 6 | 3 | 3 | Пятиугольная бипирамида | 5 + 3√5/5 | 1.447 | −11 + 4√5/41 | −11 + 4√5/41 |
- * Выпрямленные 16 ячеек являются правильными 24 ячейками, и все вершины эквивалентны - октаэдры являются правильными бипирамидами.
- ** Дано численно в связи с более сложной формой.
Высшие измерения
В целом бипирамида можно рассматривать как п-многогранник построенный с (п - 1) -политоп в гиперплоскость с двумя точками в противоположных направлениях на равном расстоянии перпендикулярно гиперплоскости. Если (п - 1) -многогранник - правильный многогранник, он будет иметь одинаковые пирамидальный грани. Примером может служить 16 ячеек, который представляет собой октаэдрическую бипирамиду, и в более общем плане п-ортоплекс является (п - 1) -ортоплексная бипирамида.
Двумерная бипирамида - это квадрат.
Смотрите также
Рекомендации
Цитаты
- ^ N.W. Джонсон: Геометрии и преобразования, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Глава 11: Конечные группы симметрии, 11.3 Пирамиды, призмы и антипризмы, рисунок 11.3c
- ^ а б "двойственность". maths.ac-noumea.nc. Получено 5 ноября 2020.
- ^ а б c d е ж "48 особых кристаллических форм". web.archive.org. 18 сентября 2013 г.. Получено 18 ноября 2020.
- ^ а б c d е ж грамм «Кристаллическая форма, зоны, хрустальная привычка». Tulane.edu. Получено 16 сентября 2017.
Общие ссылки
- Энтони Пью (1976). Многогранники: визуальный подход. Калифорния: Калифорнийский университет Press в Беркли. ISBN 0-520-03056-7. Глава 4: Двойники архимедовых многогранников, призмы и антипризмы
внешняя ссылка
Викискладе есть медиафайлы по теме Бипирамиды. |
- Вайсштейн, Эрик В. «Дипирамида». MathWorld.
- Вайсштейн, Эрик В. "Изогедр". MathWorld.
- Равномерные многогранники
- Многогранники виртуальной реальности Энциклопедия многогранников