WikiDer > Циссоида Диокла

Циссоида Диокла, начерченная точками M с OM = M₁M₂.

Анимация, визуализирующая циссоиду Диокла

В геометрия, то циссоид диокла это кривая в кубической плоскости примечателен тем свойством, что с его помощью можно построить два средние пропорциональные к данному соотношение. В частности, его можно использовать для удвоить куб. Его можно определить как циссоид из круг и линия касательная к нему относительно точки на окружности, противоположной точке касания. Фактически, кривая семья циссоидов назван в честь этого примера, и некоторые авторы называют его просто то циссоид. Имеет сингл куспид на полюсе и симметричен относительно диаметра окружности, являющейся линией касания куспида. Линия - это асимптота. Он является членом раковина де Слуза семейство кривых и по форме напоминает трактрикс.

Слово «циссоид» происходит от Греческий κισσοειδής Kissoeidēs "плющ фасонный "из κισσός поцелуи "плющ" и -οειδής -oeidēs "имеющий подобие". Кривая названа в честь Диокл которые изучили его во II веке до нашей эры.

Конструкция и уравнения

Пусть радиус C быть а. Путем перевода и вращения мы можем взять О быть началом и центром круга быть (а, 0), поэтому А есть (2а, 0). Тогда полярные уравнения L и C находятся:

${ Displaystyle г = 2а сек тета}$

${ Displaystyle г = 2а соз тета}$.

По построению расстояние от начала координат до точки на циссоиде равно разнице расстояний между началом координат и соответствующими точками на циссоиде. L и C. Другими словами, полярное уравнение циссоиды имеет вид

${ Displaystyle г = 2а сек тета -2а соз тета = 2а ( сек тета - соз тета)}$.

Применяя некоторые тригонометрические тождества, это эквивалентно

${ Displaystyle г = 2а грех ^ {2} ! тета / соз тета = 2а грех тета загар тета}$.

Позволять ${ Displaystyle т = загар тета}$ в приведенном выше уравнении. потом

${ displaystyle x = r cos theta = 2a sin ^ {2} ! theta = { frac {2a tan ^ {2} ! theta} { sec ^ {2} ! theta }} = { frac {2at ^ {2}} {1 + t ^ {2}}}}$

${ displaystyle y = tx = { frac {2at ^ {3}} {1 + t ^ {2}}}}$

являются параметрическими уравнениями для циссоида.

Преобразование полярной формы в декартовы координаты дает

${ Displaystyle (х ^ {2} + y ^ {2}) х = 2ay ^ {2}}$

Строительство по двойной проекции

Механизм образования циссоида

А циркуль и линейка Построение различных точек на циссоиде происходит следующим образом. Учитывая строку L и точка О не на L, построить линию L ' через О параллельно L. Выберите переменную точку п на L, и построить Q, ортогональная проекция п на L ', тогда р, ортогональная проекция Q на OP. Тогда циссоид - это геометрическое место точек р.

Чтобы увидеть это, позвольте О быть источником и L линия Икс = 2а как указано выше. Позволять п быть точкой (2а, 2в); тогда Q равно (0, 2в) и уравнение прямой OP является у=tx. Линия через Q перпендикулярно OP является

${ displaystyle t (y-2at) + x = 0}$.

Чтобы найти точку пересечения р, набор у = tx в этом уравнении, чтобы получить

${ displaystyle t (tx-2at) + x = 0, x (t ^ {2} +1) = 2at ^ {2}, x = { frac {2at ^ {2}} {t ^ {2 } +1}}}$

${ displaystyle y = tx = { frac {2at ^ {3}} {t ^ {2} +1}}}$

которые являются параметрическими уравнениями, приведенными выше.

Хотя эта конструкция дает сколь угодно много точек на циссоиде, она не может отследить какой-либо непрерывный сегмент кривой.

Конструкция Ньютона

Конструкция Ньютона

Следующая конструкция была дана Исаак Ньютон. Позволять J быть линией и B точка не на J. Позволять BST быть прямым углом, который движется так, чтобы ST равно расстоянию от B к J и Т остается на J, а другая нога BS скользит по B. Тогда середина п из ST описывает кривую.

Чтобы увидеть это,^[1] пусть расстояние между B и J быть 2а. Путем перевода и поворота возьмем B = (−a, 0) и J линия Икс=а. Позволять п = (Икс, у) и пусть ψ - угол между SB и Икс-ось; это равно углу между ST и J. По конструкции, PT = а, поэтому расстояние от п к J является а грех ψ. Другими словами а-Икс = а грех ψ. Также, SP = а это у координата (Икс, у), если его повернуть на угол ψ, поэтому а = (Икс+а) грех ψ +у cos ψ. После упрощения получается параметрические уравнения

${ displaystyle x = a (1- sin psi), , y = a { frac {(1- sin psi) ^ {2}} { cos psi}}.}$

Измените параметры, заменив ψ на его дополнение, чтобы получить

${ displaystyle x = a (1- cos psi), , y = a { frac {(1- cos psi) ^ {2}} { sin psi}}}$

или, применяя формулы двойного угла,

${ displaystyle x = 2a sin ^ {2} { psi over 2}, , y = a { frac {4 sin ^ {4} { psi over 2}} {2 sin { psi over 2} cos { psi over 2}}} = 2a { frac { sin ^ {3} { psi over 2}} { cos { psi over 2}}}.}$

Но это полярное уравнение

${ Displaystyle г = 2а грех ^ {2} тета / соз тета}$

приведено выше с θ = Ψ / 2.

Обратите внимание, что, как и в случае конструкции с двойным выступом, это можно адаптировать для создания механического устройства, которое генерирует кривую.

Делианская проблема

Греческий геометр Диокл использовал циссоиду для получения двух средних, пропорциональных заданному соотношение. Это означает, что при заданной длине а и б, кривую можно использовать для нахождения ты и v так что а должен ты в качестве ты должен v в качестве v должен б т.е. а/ты=ты/v=v/б, как обнаружено Гиппократ Хиосский. Как частный случай, это может быть использовано для решения проблемы Делиана: сколько должна быть длины куб быть увеличенным, чтобы двойной это объем? В частности, если а сторона куба, а б=2а, то объем куба стороны ты является

${ displaystyle u ^ {3} = a ^ {3} ({ tfrac {u} {a}}) ^ {3} = a ^ {3} ({ tfrac {u} {a}}) ({ tfrac {v} {u}}) ({ tfrac {b} {v}}) = a ^ {3} ({ tfrac {b} {a}}) = 2a ^ {3}}$

так ты это сторона куба, объем которой вдвое больше исходного куба. Обратите внимание, однако, что это решение не подпадает под правила компас и линейка поскольку он полагается на существование циссоида.

Позволять а и б быть данным. Требуется найти ты так что ты³=а²б, давая ты и v=ты²/а как среднее пропорциональное. Пусть циссоид

${ Displaystyle (х ^ {2} + y ^ {2}) х = 2ay ^ {2}}$

быть построенным, как указано выше, с О Происхождение, А точка (2а, 0), и J линия Икс=а, также как указано выше. Позволять C быть точкой пересечения J с OA. От заданной длины б, отметка B на J так что CB=б. Рисовать BA и разреши п = (Икс, у) - точка пересечения циссоида. Рисовать OP и пусть это пересекается J в U. потом ты=CU необходимая длина.

Чтобы увидеть это,^[2] перепишем уравнение кривой в виде

${ displaystyle y ^ {2} = { frac {x ^ {3}} {2a-x}}}$

и разреши N = (Икс, 0), поэтому PN перпендикуляр к OA через п.Из уравнения кривой

${ displaystyle PN ^ {2} = { frac {ON ^ {3}} {NA}}.}$

Из этого,

${ displaystyle { frac {PN ^ {3}} {ON ^ {3}}} = { frac {PN} {NA}}.}$

Подобными треугольниками PN/НА=UC/OC и PN/NA=до н.э/CA. Таким образом, уравнение становится

${ displaystyle { frac {UC ^ {3}} {OC ^ {3}}} = { frac {BC} {CA}},}$

так

${ displaystyle { frac {u ^ {3}} {a ^ {3}}} = { frac {b} {a}}, , u ^ {3} = a ^ {2} b}$

как требуется.

Диокл на самом деле не решил делийскую проблему. Причина в том, что циссоида Диокла не может быть построена идеально, по крайней мере, с помощью циркуля и линейки. Чтобы построить циссоиду Диокла, нужно построить конечное число ее отдельных точек, а затем соединить все эти точки, чтобы образовать кривую. Проблема в том, что нет четко определенного способа соединения точек. Если они соединены отрезками прямых, то конструкция будет четко определена, но это будет не точная циссоида Диокла, а только приближение. Аналогичным образом, если точки соединены дугами окружности, конструкция будет четко определенной, но неправильной. Или можно просто нарисовать кривую напрямую, пытаясь оценить форму кривой, но результатом будет только неточное предположение.

После того, как конечный набор точек на циссоиде нарисован, линия ПК вероятно, не будет точно пересекать одну из этих точек, но пройдет между ними, пересекая циссоиду Диокла в некоторой точке, точное местоположение которой не было построено, но было только приблизительно. Альтернатива - продолжать добавлять построенные точки к циссоиду, которые становятся все ближе и ближе к пересечению с линией ПК, но количество шагов вполне может быть бесконечным, и греки не признавали приближения как пределы бесконечных шагов (поэтому они были очень озадачены Парадоксы Зенона).

Можно также построить циссоиду Диокла с помощью механического инструмента, специально разработанного для этой цели, но это нарушает правило использования только циркуля и линейки. Это правило было установлено из соображений логической - аксиоматической - непротиворечивости. Разрешение строительства с помощью новых инструментов было бы похоже на добавление новых аксиомы, но аксиомы должны быть простыми и самоочевидными, а такие инструменты - нет. Итак, по правилам классической, синтетическая геометрия, Диокл не решил делийскую проблему, которую на самом деле нельзя решить такими средствами.

С другой стороны, если принять, что циссоиды Диокла действительно существовать, то должен существовать хотя бы один пример такого циссоида. Затем этот циссоид можно было перемещать, вращать, увеличивать или уменьшать в размере (без изменения его размера). пропорциональный shape) по желанию поместиться в любую позу. Тогда можно было бы легко признать, что такой циссоид можно использовать для правильного решения проблемы Делиана.

Как педаль кривой

В кривая педали параболы относительно своей вершины является циссоидой Диокла.^[3] Геометрические свойства кривых педалей в целом создают несколько альтернативных методов построения циссоиды. Это огибающие окружностей, центры которых лежат на параболе и которые проходят через вершину параболы. Кроме того, если два конгруэнтных параболы устанавливаются от вершины к вершине и одна прокатывается по другой; вершина катящейся параболы будет следовать за циссоидом.

Пара парабол обращена друг к другу симметрично: одна сверху, другая снизу. Затем верхняя парабола прокатывается без скольжения по нижней, и ее последовательные положения отображаются в анимации. Тогда путь, пройденный вершиной верхней параболы при ее вращении, представляет собой рулетку, показанную красным, которая является циссоидой Диокла.

Инверсия

Циссоид Диокла также можно определить как обратная кривая параболы с центром инверсии в вершине. Чтобы убедиться в этом, возьмем параболу за Икс = у², в полярных координатах ${ Displaystyle г соз тета = (г грех тета) ^ {2}}$ или же:

${ displaystyle r = { frac { cos theta} { sin ^ {2} ! theta}} ,.}$

Таким образом, обратная кривая:

${ displaystyle r = { frac { sin ^ {2} ! theta} { cos theta}} = sin theta tan theta,}$

что согласуется с полярным уравнением циссоиды выше.

Рекомендации

Wikisource есть текст 1911 Британская энциклопедия статья Циссоид.

• Дж. Деннис Лоуренс (1972). Каталог специальных плоских кривых. Dover Publications. стр.95, 98–100. ISBN 0-486-60288-5.
• Вайсштейн, Эрик В. "Циссоида Диокла". MathWorld.
• "Циссоида Диокла" в Визуальном словаре специальных плоских кривых
• «Циссоида Диокла» в списке известных кривых MacTutor
• "Циссоид" на 2dcurves.com
• "Cissoïde de Dioclès ou Cissoïde Droite" в Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (На французском)
• "Циссоид" Элементарный трактат о кубических и квартических кривых Альфред Барнард Бассет (1901) Кембридж, стр. 85ff