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der Traktor

EIN traktrix (lateinisch: trahere, ziehen, ziehen) ist eine Wohnung MathematikerKurve was man sich als den Job eines a . vorstellen kann Hund die in einer Leitung sind (mit festen Länge) folgt seinem Besitzer, wenn er sich (sehr) langsam geradeaus bewegt aufrecht in der Anfangsrichtung der Linie.

Definition

Die Kurve wurde 1670 von den Franzosen eingeführt WissenschaftlerClaude Perrault, und wurde später studiert von Isaac Newton (1676) und Christian Huygens (1692).

In der nebenstehenden Abbildung befindet sich zunächst der Besitzer (A) am Ursprung und der Hund (P) an einer Leine der Länge AP auf der y-Achse. Der Besitzer bewegt sich entlang der x-Achse.

Umleitung

Vergleich

Die Gleichung der Traktrix mit Parameter ein ist in parametrisierter Form für Realt gegeben von:

${Anzeigestil x(t)=a(t-anh(t)),}$

${displaystyle y(t)={frac {a}{cosh(t)}},}$.

Darin sind cosh und tanh bzw. die hyperbolische Funktionen Cosinus-Hyperbolicus und Tangens-Hyperbolicus.

Definition

Das Traktor ist die Kurve, die von einem Punkt durchquert wird p (das Zugkraft) an einen Punkt gebunden ein nach den Bedingungen:

• Punkt ein läuft über a Gerade
• das EntfernungAP Ist repariert
• die gerade AP berührt den Traktor

Umleitung

Wir wählen die x-Achse als Linie, auf der ein Standort und Name ein die Distanz AP. Dann sind die gegebenen Bedingungen für die gewünschte Kurvenrendite y = f(x) das Differentialgleichung:

${displaystyle y'=pm {frac {y}{sqrt {a^{2}-y^{2}}}}}$,

was geschrieben werden kann als:

${displaystyle dx=pm {frac {sqrt {a^{2}-y^{2}}}{y}} dy}$

Integration liefert die beiden Lösungen:

${displaystyle x=pm left(aln left({frac {a {sqrt {a^{2}-y^{2}}}}{y}}ight)-{sqrt {a^{2}-y^{ 2}}}Nacht)}$

Eigenschaften

• Sie hat die x-Achse als Asymptote;
• Die Entfernung von der Tangente an jedem Punkt bis zu seinem Schnittpunkt mit der x-Achse konstant ist (aus der Definition);
• Das Bogenlänge zwischen x=p und x=q ist ${displaystyle aln left({frac {p}{q}}ight)}$
• Das Oberfläche zwischen der Kurve und der x-Achse ist ${displaystyle pi a^{2}/2}$
• Das entwickeln dieser Kurve ist die Kettenlinie${displaystyle x=acosh {frac {y}{a}}}$.

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