WikiDer > Проблема скрещенных лестниц
В проблема скрещенных лестниц это головоломка неизвестного происхождения, появлявшаяся в различных публикациях и регулярно появляющаяся на веб-страницах и Usenet обсуждения.
Проблема
Две лестницы длины а и б лежите напротив по переулку, как показано на рисунке. Лестницы пересекаются на высоте час над полом переулка. Какая ширина аллеи?
Мартин Гарднер представляет и обсуждает проблему[1] в его книге математических головоломок, опубликованной в 1979 году, и цитирует ссылки на нее еще в 1895 году. Проблема скрещенных лестниц может проявляться в различных формах, с вариациями названия, с использованием различной длины и высоты или с запросом необычных решений, таких как случаи, когда все значения целые числа. Его очарование было приписано кажущейся простоте, которая может быстро превратиться в «алгебраический беспорядок» (характеристика, которую Гарднер приписывает Д. Ф. Черч).
Решение
Из описания проблемы следует, что ш > 0, который а > ш, и б > ш, который час > 0, и это А > час, B > час, куда А и B высота стен, где стороны длины б и а соответственно худой (как на графике выше).
Оба метода решения ниже полагаются на свойство, которое что можно увидеть следующим образом:
- Разделите базовую линию на две части в точке пересечения , и назовите левую и правую части и , соответственно. Угол, где встречает является общим для двух одинаковых треугольников с основаниями и соответственно. Угол, где встречает является общим для двух одинаковых треугольников с основаниями и соответственно. Это говорит нам, что
- который мы затем можем переставить (используя ) получить
Первый способ
Два заявления теорема Пифагора (см. рисунок выше)
- и
- можно вычесть одно из другого, чтобы исключить ш, а результат можно комбинировать с с попеременно А или же B решил дать уравнения четвертой степени[2]
- Их можно решить алгебраически или численно для высоты стены. А и B, а теорему Пифагора об одном из треугольников можно использовать для определения ширины ш.
Второй способ
Задача сводится к уравнению четвертой степени Икс 3(Икс − c) - 1 = 0, которая может быть решена методами приближения, как предлагает Гарднер, или квартика может быть решена в закрытая форма к Метод Феррари. Один раз Икс получается, легко рассчитывается ширина аллеи. Ниже приводится вывод квартики вместе с желаемой шириной в единицах решения четвертой степени. Обратите внимание, что запрошенный неизвестный, ш, не появляется непосредственно в большинстве производных.
- Из мы получили
- .
- С использованием теорема Пифагора, мы видим, что
- и .
- Выделяя w² в обоих уравнениях, мы видим, что
- которые можно перегруппировать и разложить на
- .
- Возведите в квадрат (уравнение 2) и объедините с (уравнением 1)
- Переставить, чтобы получить
- потом
- Теперь объедините с (уравнением 1)
- Ну наконец то
- Позволять
- потом
- (то же самое, что и уравнение 3 с перевернутыми сторонами)
- Вышеупомянутое уравнение четвертой степени может быть решено для Икс любым доступным способом. Затем ширина переулка определяется с использованием значения, найденного для Икс: Личность
- можно использовать, чтобы найти А, и ш наконец можно найти
Уравнение четвертой степени имеет четыре решения, и только одно решение этого уравнения соответствует поставленной задаче. Другое решение - для случая, когда одна лестница (и стена) находится ниже уровня земли, а другая - выше уровня земли. В этом случае лестницы фактически не пересекаются, а их удлинения пересекаются на заданной высоте. Два других решения представляют собой пару сопряженных комплексных чисел. В уравнении явно не определены длины лестниц, только разница их квадратов, поэтому можно принять длину как любое значение, которое заставляет их пересекаться, а расстояние между стенами будет определяться как между тем местом, где лестницы пересекаются со стенами.
Когда расстояние между стенками приближается к нулю, высота перехода приближается Это потому что (проверено с самого начала) подразумевает и, как ш идет к нулю б идет в А и а идет в B согласно верхней диаграмме.
Поскольку решения уравнения включают квадратные корни, отрицательные корни также действительны. Их можно интерпретировать как лестницы и стены, находящиеся ниже уровня земли, и, в противоположном смысле, их можно менять местами.
Сложные решения можно интерпретировать как стены А наклон влево или вправо и стену B под землей, чтобы пересечение было между удлинениями лестниц, как показано для случая h, a, b = 3, 2, 1. Лестницы а и б и не такие, как указано. База ш является функцией А, B, и час и комплексные значения А и B можно найти из альтернативной квартики
с D существование для одной стены и для другого (± 5 в примере). Обратите внимание, что воображаемые решения горизонтальны, а реальные - вертикальны. Величина D находится в решении как действительная часть разности квадратов комплексных координат двух стен. Мнимая часть = 2ИксаYа = 2ИксбYб (стены а и б). Короткая лестница в сложном решении в случае 3,2,1 кажется наклоненной под углом 45 градусов, но на самом деле немного меньше с касательной 0,993. Другие комбинации длины лестницы и высоты кроссовера имеют сопоставимые комплексные решения. Для комбинации 105,87,35 касательная к короткой лестнице составляет приблизительно 0,75.
Целочисленные решения
Есть решения, в которых все параметры целые.[3] Например,[2] (а, б, а, б, ш1, ш2, ш, час) = (119, 70, 42, 105, 16, 40, 56, 30). Такие решения включают Пифагорейские тройки для двух прямоугольных треугольников со сторонами (А, ш, б) и (B, ш, а) и целочисленные решения оптическое уравнение
Применение для складывания бумаги
Оптическое уравнение задачи о скрещенных лестницах можно применить для складывания прямоугольной бумаги на три равные части:
- 1/1⁄2 + 1/1 = 1/час ∴ 2 + 1 = 1/час ∴ час = 1/2 + 1 = 1/3
Одна сторона (левая на рисунке) частично сложена пополам и защемлена, чтобы оставить след. Пересечение линии от этой отметки до противоположного угла (красного) с диагональю (синего цвета) составляет ровно одну треть от нижнего края. Затем верхний край можно загнуть вниз до пересечения.[4]
Точно так же, сложив левую сторону дважды, чтобы получить четверть, можно сложить лист на пять равных частей:
- 1/1⁄4 + 1/1 = 1/час' ∴ 4 + 1 = 1/час' ∴ час' = 1/4 + 1 = 1/5
и сложив его трижды, чтобы получить восьмерки, можно сложить лист на девять равных частей и т. д .:
- 1/1⁄8 + 1/1 = 1/час" ∴ 8 + 1 = 1/час" ∴ час" = 1/8 + 1 = 1/9
Смотрите также
- Правая трапеция, четырехугольник с вершинами на вершинах и основаниях двух лестниц
Рекомендации
- ^ Гарднер, Мартин (1979). Математический цирк: больше головоломок, игр, парадоксов и других математических развлечений от журнала Scientific American. Нью-Йорк: Knopf. стр.62–64.
- ^ а б Вайсштейн, Эрик В. «Проблема скрещенных лестниц». Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/CrossedLaddersProblem.html
- ^ Бремнер, А .; Høibakk, R .; Луккассен, Д. (2009), «Перекрещенные лестницы и квартика Эйлера» (PDF), Annales Mathematicae et Informaticae, 36: 29–41, МИСТЕР 2580898
- ^ http://faculty.purchase.edu/jeanine.meyer/origami/orithir.htm