WikiDer > Differentialquotient

Es Differenz Quotient ist der Verhältnis der Änderung einer Größe gegenüber der Änderung einer anderen Größe, von der die erste Größe abhängt. In dem Analyse der Differenzenquotient wird verwendet, um die zu finden Derivat von a Funktion definieren. Differentialquotienten zusammen mit dem Begrenzungskonzept die theoretische Grundlage unter dem Differentialrechnung.

In Funktionen spricht man statt Differenzenquotient auch von durchschnittliche Änderung des Funktionswertes.

Definition

Sie ${displaystyle f}$ ein Funktion mit Domain${displaystyle D_{f}.}$ Wenn es Intervall${Anzeigestil [x,x Delta x]}$ Teil dieser Domäne, es heißt noemt Quotient

${displaystyle varphi (f,x,x Delta x)={frac {f(x Delta x)-f(x)}{Delta x}}}$

der Differenzenquotient von ${displaystyle f}$ über die Intervall${Anzeigestil [x,xDelta x].}$

Wenn die Funktion beschriftet ist als ${Anzeigestil y=f(x),}$ schreibt man?

${Anzeigestil Delta y=f(x Delta x)-f(x)}$,

und der Differenzenquotient wird geschrieben als

${displaystyle {frac {f(x Delta x)-f(x)}{Delta x}}={frac {Delta y}{Delta x}}}$.

Der Differenzenquotient ist der Steigung des Schnitt Linie (die blaue Linie in der Grafik) durch die Punkte ${Anzeigestil (x,f(x))}$ und ${Anzeigestil (xDelta x,f(xDelta x)),}$ auf der Grafik von ${Anzeigestil f.}$

Durch ${Anzeigestil Delta x}$ gegen Null wird diese Linie eine immer bessere Annäherung an den Tangente zum Graphen von ${displaystyle f}$ im punkt ${Anzeigestil (x,f(x)).}$

Nach der verallgemeinerten Version des Satz von Rolle es gibt mindestens einen Punkt innerhalb des Intervalls ${Anzeigestil [x,xDelta x],}$ bei dem die Steigung der Schnittlinie und des Tangente der Funktion ${displaystyle f}$ gleich sind, sofern ${displaystyle f}$ kontinuierlich und differenzierbar liegt innerhalb dieses Intervalls.

Wissenswertes

Anwendungen von Differenzenquotienten finden sich beispielsweise in Biologie (Wachstum), Physik (Geschwindigkeit, Temperaturänderungen), Makroökonomie (Modelle), Chemie (Auflösungsrate), Meteorologie (Vorhersagen).

Siehe auch

• Differentialquotient
• Differentialgleichung