WikiDer > Dirichlet-Serie

EIN Dirichlet-Reihe, benannt nach dem Deutschen MathematikerJohann Dirichlet, ist in der Mathematik ein Serie des Formulars:

${displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {a_{n}}{n^{s}}},}$

in welchem ${displaystyle s}$ und der Koeffizienten${Anzeigestil (a_{n})}$komplexe Zahlen sein. Die Reihe, gegebene Koeffizienten, wird verstanden als a komplexe Funktion der Argumentation ${displaystyle s}$.

Dirichlet-Reihen finden Anwendung in der analytische Zahlentheorie zu Zahl theoretisch Probleme mit Methoden aus der Funktionstheorie zu untersuchen. Ein bekanntes Beispiel ist die Riemann-Zeta-Funktion.

Konvergenz

Die Funktion ${displaystyle f}$ das bei gegeben ${displaystyle a_{n}}$ bestimmt durch die Dirichlet-Reihe:

${displaystyle f(s)=sum _{n=1}^{infty }{frac {a_{n}}{n^{s}}}}$,

hat nur Bedeutung für Werte von ${displaystyle s}$ für die die Serie konvergent ist.

Ist die Reihe ${displaystyle (a_{n})_{nin mathbb {N} }}$begrenzt, dann die serie absolut konvergent im freien Halbebene in welchem ${Displaystil Re(s)>1}$. Die Funktion ${displaystyle f}$ ist auf dieser Halbebene a analytische Funktion.

Die Riemann-Zeta-Funktion

wenn ${displaystyle a_{n}=1}$ für alle ${displaystyle n}$, entsteht die Riemann-Zeta-Funktion

${displaystyle zeta (s)=sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n^{s}}}}$,

dafür ${Anzeigestil s=1}$ das harmonische Reihe beschreibt und für andere Werte von ${displaystyle s}$ das hyperharmonisch Serie.