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In dem Lineare Algebra, eine Unterregion der Mathematik, ist ein lineare Transformation ein lineares Bild von a Vektorraum zu sich selbst.

endlichdimensionaler Fall

Eine lineare Transformation wird vollständig von den Bildern einer Basis erfasst

Eine lineare Transformation ${Anzeigestil T:V oder V}$ von a nein-dimensionalVektorraum${Anzeigestil V}$ wird von den Bildern festgehalten ${displaystyle T(b_{1}),ldots ,T(b_{n})}$ eines bestellten Base${displaystyle (b_{1},ldots,b_{n})}$ von ${Anzeigestil V}$. Beliebiger Vektor ${displaystyle x=sum _{i=1}^{n}xi _{i}b_{i}in V}$ mit Koordinaten ${displaystyle (xi _{1},ldots ,xi _{n})}$ schließlich ist es relativ zu dieser Basis abgebildet auf:

${Anzeigestil T(x)=Tlinks(Summe _{i=1}^{n}xi _{i}b_{i}ight)=Summe _{i=1}^{n}xi _{i}T( Bi})}$.

Matrix einer linearen Transformation

Durch die Wahl einer bestellten Basis ${displaystyle (b_{1},ldots,b_{n})}$ im ${Anzeigestil V}$ wird die lineare Transformation ${Anzeigestil T}$ ganz bestimmt durch die Matrix${displaystyle au }$ die als Elemente die Koordinaten der Bilder der Basisvektoren hat. Diese Bilder werden bestimmt durch:

${Anzeigestil T(b_{i})=Summe _{j=1}^{n}t_{ij}b_{j}}$,

Für das Bild ${Anzeigestil T(x)=Summe _{j=1}^{n}eta _{j}b_{j}}$ von ${displaystyle x=sum _{i=1}^{n}xi _{i}b_{i}}$ es gilt also:

${displaystyle sum _{j=1}^{n}eta _{j}b_{j}=T(x)=Tleft(sum _{i=1}^{n}xi _{i}b_{i} ight)=Summe _{i=1}^{n}xi _{i}T(b_{i})=Summe _{i=1}^{n}xi _{i}Summe _{j=1} ^{n}t_{ij}b_{j}=Summe _{j=1}^{n}Summe _{i=1}^{n}xi _{i}t_{ij}b_{j}}$.

so dass:

${displaystyle eta _{j}=Summe _{i=1}^{n}xi _{i}t_{ij}}$.

Dies beläuft sich auf das Matrixprodukt des Spaltenvektors ${displaystyle xi =[xi _{1},ldots ,xi _{n}]^{ on }}$ aus den Koordinaten von ${Anzeigestil x}$ mit der Matrix ${displaystyle au =(t_{ij})^{ am }}$, was den Spaltenvektor zurückgibt ${displaystyle eta =[eta _{1},ldots ,eta _{n}]^{ am }}$ aus den Koordinaten von ${Anzeigestil T(x)}$:

${ Anzeigestil eta = au xi }$.

Ausgeschrieben sieht es so aus:

${displaystyle { egin{bmatrix}eta _{1}/eta _{2}/vdots /eta _{n}end{bmatrix}}={ egin{bmatrix} au _{11}& au _{12}&cdots & au _{1n}/ au _{21}& au _{22}&cdots & au _{2n}/vdots &vdots &ddots &vdots / au _{n1}& au _{m2}&cdots & au _{nn}end{ bmatrix}}{ egin{bmatrix}xi _{1}/xi _{2}/vdots /xi _{n}end{bmatrix}}}$,

in welchem ${displaystyle au_{ij}=t_{ji}}$. Die Matrix ${displaystyle au }$ dass die Verwandlung ${Anzeigestil T}$ hat daher als Spalten die Koordinaten der Bilder der Basisvektoren.

Beispiel

Die lineare Transformation ${Anzeigestil T}$ des Vektorraums ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$ bildet die Basisvektoren (1.0) und (0.1) auf die Vektoren (3.2) und (5.4) ab. Damit, ${Anzeigestil T}$ vollständig etabliert. Die Matrix von ${Anzeigestil T}$ ist dann

${displaystyle { start{bmatrix}3&5/2&4end{bmatrix}}}$.

Zum Beispiel das Bild des Vektors ${Anzeigestil (-1.5)}$ hat dann die Koordinaten:

${displaystyle { egin{bmatrix}3&5/2&4end{bmatrix}}{ egin{bmatrix}-1/5end{bmatrix}}={ egin{bmatrix}22/18end{bmatrix}}}$.

So ist ${Anzeigestil T(-1.5)=22(1.0) 18(0.1)=(22.18)}$.

Determinante, Rang und Nullraum

Eine lineare Transformation kann bijektiv sein. Die Determinante der Matrix der Transformation ist dann ungleich 0 und die Matrix hat volle Rang, was unter anderem bedeutet, dass die Spalten voneinander unabhängig sind.

Wenn die Transformation nicht invertierbar ist, ist die Determinante der Matrix 0. Der Rang der Matrix ist dann kleiner als die Dimension des Raumes, sodass die Spalten nicht voneinander unabhängig sind. Die Bilder der Basisvektoren erzeugen dann einen Unterraum kleinerer Dimension. Es gibt einen Unterraum, den Nullraum oder Ader der Transformation, die auf den Nullvektor abgebildet wird.

Lineare Transformationen der Ebene

Lineare Transformationen der ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$, kann durch eine 2×2-Matrix beschrieben werden ${Anzeigestil A}$. Wählt man die Einheitsvektoren als Basis, dann sind die Spalten von ${Anzeigestil A}$, als Vektor gesehen, die Bilder der Einheitsvektoren. Einige Beispiele:

Die Identität

Jeder Punkt wird auf sich selbst abgebildet.

${displaystyle A={ egin{bmatrix}1&0/0&1end{bmatrix}}}$.

Drehung

EIN Drehung ab 90° gegen den Uhrzeigersinn:

${displaystyle A={ egin{bmatrix}0&-1/1&0end{bmatrix}}}$

EIN Drehung über eine Ecke ${Anzeigestil-Heta}$ gegen den Uhrzeigersinn:

${displaystyle A={ egin{bmatrix}cos(heta)&-sin(heta)/sin(heta)&cos(heta)end{bmatrix}}}$.

Reflexion

Reflexion um die X-Asche:

${displaystyle A={ egin{bmatrix}1&0/0&-1end{bmatrix}}}$.

Skalierung

EIN Homothese um Faktor 2:

${displaystyle A={ egin{bmatrix}2&0/0&2end{bmatrix}}}$.

Eine Skalierung um einen Faktor ${displaystyle r}$ in horizontaler Richtung und einem Faktor von ${Anzeigestil s}$ in vertikaler Richtung:

${displaystyle A={ egin{bmatrix}r&0/0&send{bmatrix}}}$.

scheren

Horizontal scheren:

${displaystyle A={ egin{bmatrix}1&m/0&1end{bmatrix}}}$.

Kompression

Horizontale Dehnung und vertikale Kompression (um Faktor k > 1):

${displaystyle A={ egin{bmatrix}k&0/0&1/kend{bmatrix}}}$.

Projektion

Projektion auf der ja-Asche:

${displaystyle A={ egin{bmatrix}0&0/0&1end{bmatrix}}}$

Lineare Transformationsoperationen

Summe zweier linearer Transformationen

wenn ${displaystyle T_{1}}$ und ${displaystyle T_{2}}$ sind lineare Transformationen eines Vektorraums ${Anzeigestil V}$, ist ihre Summe ${Displaystil T_{1} T_{2}}$, die definiert ist durch

${displaystyle forall vin V:(T_{1} T_{2})(v)=T_{1}(v) T_{2}(v)}$,

auch eine lineare Transformation von ${Anzeigestil V}$.

Endlichdimensionaler Fall:

Relativ zu einer Basis von ${Anzeigestil V}$ ist die Matrix ${Anzeigestil A}$ von ${Displaystil T_{1} T_{2}}$ gleich der Summe ${Displaystil A_{1} A_{2}}$ der Matrizen ${Displaystil A_{1}}$ und ${Displaystil A_{2}}$ von jeweils ${displaystyle T_{1}}$ und ${displaystyle T_{2}}$:

${Displaystil A=A_{1} A_{2}}$.

Produkt einer linearen Transformation mit einer reellen Zahl

wenn ${displaystyle T_{1}}$ ist eine lineare Transformation eines Vektorraums ${Anzeigestil V}$ und ${displaystyle alpha }$ eine reelle Zahl ist, dann ist das Skalarprodukt ${displaystyle alpha T_{1}}$, die definiert ist durch

${displaystyle forall vin V:(alpha T_{1})(v)=alpha (T_{1}(v))}$,

auch eine lineare Transformation von ${Anzeigestil V}$.

Endlichdimensionaler Fall:

Relativ zu einer Basis von ${Anzeigestil V}$ ist die Matrix ${Anzeigestil A}$ von ${displaystyle alpha T_{1}}$ gleich dem Skalarprodukt ${Displaystil Alpha A_{1}}$ von ${displaystyle alpha }$ und die Matrix ${Displaystil A_{1}}$ von ${displaystyle T_{1}}$:

${Displaystil A=Alpha A_{1}}$.

Zusammensetzung linearer Transformationen

wenn ${displaystyle T_{1}}$ und ${displaystyle T_{2}}$ sind lineare Transformationen eines Vektorraums ${Anzeigestil V}$, dann ihre Zusammensetzung ${displaystyle T_{1}circ T_{2}}$, die definiert ist durch

${displaystyle forall vin V:(T_{1}circ T_{2})(v)=T_{1}(T_{2}(v))}$,

auch eine lineare Transformation von ${Anzeigestil V}$.

Endlichdimensionaler Fall:

Relativ zu einer Basis von ${Anzeigestil V}$ ist die Matrix ${Anzeigestil A}$ von ${displaystyle T_{1}circ T_{2}}$ gleich dem Matrixprodukt ${Displaystil A_{1}A_{2}}$ der Matrizen ${Displaystil A_{1}}$ und ${Displaystil A_{2}}$ von jeweils ${displaystyle T_{1}}$ und ${displaystyle T_{2}}$:

${Displaystil A=A_{1}A_{2}}$.

Eigenwerte und Eigenvektoren einer linearen Transformation

sehen Eigenwert (Mathematik) für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Unter den bijektiven Transformationen eines linearen Raums ${Anzeigestil V}$ gibt es solche, die einen Unterraum haben? ${displaystyle Dsubset V}$ an sich darstellen. wenn ${Anzeigestil D}$ eindimensional ist, heißt beliebiger Vektor ${displaystyle din D,deq 0}$ ein Eigenvektor der Transformation. Der Eigenvektor ${displaystyle d}$ ist auf einem Vielfachen abgebildet ${Anzeigestil Lambda d}$ von ${displaystyle d}$. Der Faktor ${ Anzeigestil Lambda }$ heißt Eigenwert der Transformation.

Eigenschaften

• Die Menge der Eigenvektoren einer linearen Transformation ${Anzeigestil T}$ zum gleichen Eigenwert gehören, bilden zusammen mit dem Nullvektor einen Unterraum des Vektorraums ${Anzeigestil V}$. Dieser Raum heißt der eigener Raum mit Eigenwert verbunden.
• Als lineare Transformation bijektiv ist, ist das? invers auch eine lineare Transformation.

Endlichdimensionaler Fall:

• Wenn eine lineare Transformation von a ${displaystyle n}$-dimensionaler Raum, ${displaystyle n}$ verschiedene Eigenwerte hat, bilden die diesen Eigenwerten entsprechenden Eigenvektoren eine Basis von ${Anzeigestil V}$.
• Wenn es in einem Vektorraum eine Basis aus Eigenvektoren gibt, dann ist die Matrix dieser linearen Transformation bezüglich dieser Basis a diagonale Matrix.

Lineare Permutationen

Transformiert eine lineare Transformation t eines Vektorraums V eine Basis von V in eine Basis von V, so spricht man von einer linearen Permutation von V. Unter dem Einfluss von t werden verschiedene Vektoren auf verschiedene Vektoren abgebildet und linear unabhängig Vektoren auf linear unabhängigen Vektoren.
Die Menge aller linearen Permutationen von V form a Gruppe, das allgemeine lineare Gruppe eines Vektorraums V. Normalerweise wird diese Gruppe als GL(V) bezeichnet.

Endlichdimensionaler Fall:

Die Matrix A einer linearen Permutation ist regulär und der Kern besteht nur aus dem Nullvektor.