WikiDer > Теорема Эйленберга – Зильбера.

В математикаособенно в алгебраическая топология, то Теорема Эйленберга – Зильбера. является важным результатом в установлении связи между группы гомологии из пространство продукта ${ Displaystyle X раз Y}$ и те из пространств ${ displaystyle X}$ и ${ displaystyle Y}$. Теорема впервые появилась в статье 1953 г. Американский журнал математики к Сэмюэл Эйленберг и Джозеф А. Зильбер. Один из возможных путей к доказательству - это ациклическая модель теорема.

Формулировка теоремы

Теорема может быть сформулирована следующим образом. Предполагать ${ displaystyle X}$ и ${ displaystyle Y}$ находятся топологические пространства, Тогда у нас есть три цепные комплексы ${ displaystyle C _ {*} (X)}$, ${ displaystyle C _ {*} (Y)}$, и ${ Displaystyle С _ {*} (Х раз Y)}$. (Этот аргумент в равной степени применим к симплициальный или сингулярные цепные комплексы). тензорное произведение сложный ${ Displaystyle C _ {*} (X) otimes C _ {*} (Y)}$, дифференциал которой по определению равен

${ displaystyle delta ( sigma otimes tau) = delta _ {X} sigma otimes tau + (- 1) ^ {p} sigma otimes delta _ {Y} tau}$

за ${ displaystyle sigma in C_ {p} (X)}$ и ${ displaystyle delta _ {X}}$, ${ displaystyle delta _ {Y}}$ дифференциалы на ${ displaystyle C _ {*} (X)}$,${ displaystyle C _ {*} (Y)}$.

Тогда теорема говорит, что мы имеем цепные карты

${ Displaystyle F двоеточие C _ {*} (X times Y) rightarrow C _ {*} (X) otimes C _ {*} (Y), quad G двоеточие C _ {*} (X) otimes C_ {*} (Y) rightarrow C _ {*} (X times Y)}$

такой, что ${ displaystyle FG}$ это личность и ${ displaystyle GF}$ является цепно-гомотопный к личности. Более того, карты естественный в ${ displaystyle X}$ и ${ displaystyle Y}$. Следовательно, два комплекса должны иметь одинаковые гомология:

${ displaystyle H _ {*} (C _ {*} (X times Y)) cong H _ {*} (C _ {*} (X) otimes C _ {*} (Y)).}$

Важное обобщение неабелев Случай использования скрещенных комплексов приведен в статье Эндрю Тонкса ниже. Это дает полную информацию о результате на (симплициальном) классификация пространства скрещенного комплекса, сформулированного, но не доказанного в статье Рональд Браун и Филип Дж. Хиггинс о классификации пространств.

Последствия

Теорема Эйленберга – Зильбера является ключевым элементом в установлении Теорема Кюннета, который выражает группы гомологий ${ Displaystyle H _ {*} (X раз Y)}$ с точки зрения ${ displaystyle H _ {*} (X)}$ и ${ displaystyle H _ {*} (Y)}$. В свете теоремы Эйленберга – Зильбера содержание теоремы Кюннета состоит в анализе того, как гомологии комплекса тензорного произведения соотносятся с гомологиями факторов.

Смотрите также

• Ациклическая модель

Рекомендации

• Эйленберг, Самуэль; Зильбер, Джозеф А. (1953), "О продуктах комплексов", Американский журнал математики, 75 (1), стр. 200–204, Дои:10.2307/2372629, JSTOR 2372629, МИСТЕР 0052767.
• Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология, Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-79540-1.
• Тонкс, Эндрю (2003), "О теореме Эйленберга – Зильбера для скрещенных комплексов", Журнал чистой и прикладной алгебры, 179 (1–2), стр. 199–230, Дои:10.1016 / S0022-4049 (02) 00160-3, МИСТЕР 1958384.
• Браун, Рональд; Хиггинс, Филип Дж. (1991), "Классифицирующее пространство скрещенного комплекса", Математические труды Кембриджского философского общества, 110, стр. 95–120, CiteSeerX 10.1.1.145.9813, Дои:10.1017 / S0305004100070158.