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Das Einstein-Tensor ist ein tensor dass die Krümmung der Raumzeit ausgedrückt in generelle Relativität. Der Tensor ist Teil des Einstein-Gleichungen und stellt die proportionale Beziehung zwischen der Krümmung und der Energie dar (einschließlich der durch Restmenge) pro Volumeneinheit.

Genauer gesagt ist der Einstein-Tensor ein Objekt, das durch zweite Ableitungen von ausgedrückt werden kann metrisch eines gegebenen Raumes. Im Mathematiker Kontext es kann ein beliebiger Raum sein. Im Physik hat Raum die Bedeutung des Vierdimensionalen? Freizeit und ist der Einstein-Tensor die Krümmung der gegebenen Raumzeit.

Definition

Im mathematischen Kontext ist der Einstein-Tensor ${displaystyle mathbf {G} }$ definiert als a tensor von Rang 2 bis a Riemann-Sorte wenn:

${displaystyle mathbf {G} =mathbf {R} -{frac {1}{2}}mathbf {g} R,}$

mit ${displaystyle mathbf {R} }$ das Ricci-Tensor, ${displaystyle mathbf {g} }$ das metrischer Tensor und ${Anzeigestil R}$ das skalare Krümmung. In der Sprache der Tensoren wird dies geschrieben als

${displaystyle G_{mu u }=R_{mu u }-{1 über 2}g_{mu u }R.}$

Expliziter Ausdruck

Der Ricci-Tensor und die skalare Krümmung können eindeutig bestimmt werden, wenn metrischer Tensor, und somit kann der Einstein-Tensor prinzipiell explizit durch die Metrik ausgedrückt werden. Da dieser Ausdruck nicht einfach aussieht, bevorzugt man normalerweise die obige (implizite) Definition des Einstein-Tensors. Dies lässt sich aus dem Ausdruck für den Ricci-Tensor in Form von berechnen christoffel verbindung:

${displaystyle { egin{aligned}G_{alpha eta }&=R_{alpha eta }-{frac {1}{2}}g_{alpha eta }R/&=R_{alpha eta }-{frac {1}{ 2}}g_{alpha eta }g^{gamma zeta }R_{gamma zeta }/&=(delta _{alpha}^{gamma }delta _{eta}^{zeta }-{frac {1}{2} }g_{alpha eta }g^{gamma zeta })R_{gamma zeta }/&=(delta _{alpha}^{gamma }delta _{eta}^{zeta }-{frac {1}{2}} g_{alpha eta }g^{gamma zeta })(Gamma _{gamma zeta ,epsilon}^{epsilon}-Gamma _{gamma epsilon,zeta}^{epsilon} Gamma _{epsilon sigma}^{epsilon}Gamma _ {Gamma-Zeta}^{Sigma}-Gamma_{Zeta-Sigma}^{Epsilon}Gamma_{Epsilon-Gamma}^{Sigma}),Ende{ausgerichtet}}}$

darin ist ${Anzeigestil Delta _{ eta }^{alpha }}$ das kronecker tensor und sind die christoffel-symbole ${displaystyle Gamma _{ eta gamma }^{alpha }}$ definiert als

${displaystyle Gamma _{ eta gamma }^{alpha }={frac {1}{2}}g^{alpha epsilon }(g_{ eta epsilon ,gamma } g_{gamma epsilon , eta }-g_{ eta gamma ,epsilon }).}$.

Der konkrete Ausdruck für ${displaystyle mathbf {G} }$ sieht nicht einfach aus und wird normalerweise nicht erwähnt.

Aussehen in der Allgemeinen Relativitätstheorie

Der Einstein-Tensor tritt auf der linken Seite des auf Einstein-Gleichungen:

${displaystyle G_{mu u }={frac {8pi G}{c^{4}}}T_{mu u }.}$

In dem natürliche Einheiten, so sieht das aus

${Anzeigestil G_{mu u}=8pi ,T_{mu u}.}$

zusätzlich Bianchi-Identitäten leicht mit dem Einstein-Tensor ausgedrückt:

${displaystyle abla _{mu}G^{mu u}=0.}$

Die Einfachheit dieser mit dem Einstein-Tensor ausgedrückten Gleichungen zeigt die tiefgreifende geometrische und physikalische Bedeutung des Objekts.

Siehe auch

• Tensoren in der Allgemeinen Relativitätstheorie
• Einstein-Gleichungen

Literatur

• Ohanian, HansC.; Remo Ruffinic, Gravitation und Raumzeit, Zweite Ausgabe. W. W. Norton & Company (1994). ISBN 0-393-96501-5 .
• Martin, John Legat, Allgemeine Relativitätstheorie: Ein erster Kurs für Physiker, Überarbeitete Edition. Lehrlingssaal (1995). ISBN 0-13-291196-5 .