WikiDer > Ricci-Tensor

Das ricci tensor ist ein mathematisches Objekt von dem Differentialgeometrie, benannt nach Gregorio Ricci-Curbastro. Es ist ein Objekt, das ausdrückt, inwieweit a Platz anders als üblich euklidischer Raum. Auch der Ricci-Tensor, nämlich die Störung einer Volumeneinheit im gegebenen Raum, lässt sich geometrisch interpretieren.

Formale Definition

Genau wie die metrischer Tensor ist der Ricci-Tensor a symmetrische bilineare Form auf der berührenden Raum von a Pseudo-Riemann-Sorte^[1] Es ist der Ricci-Tensor Spur des Riemann-Tensor.

Nehmen wir genauer an, dass ${Anzeigestil (M,g)}$ ein n-dimensionale Pseudo-Riemann-Varietät. Hinweis mit ${displaystyle T_{p}M}$ das Tangentenbündel von ich auf der Höhe von p. Für jedes Paar Vektoren

${displaystyle xi ,eta in T_{p}M}$

im Tangentialraum der Ricci-Tensor ${displaystyle mathrm {Ric} (xi,eta)}$ definiert als die Spur des lineares Bild von

${displaystyle T_{p}M o T_{p}M}$

gegeben von

${Anzeigestil Zeta Mapto R(zeta,eta)xi}$

mit R der Riemann-Tensor.

Konkreter, bei einem gewissen Koordinatensystem, können wir dies in Komponenten schreiben als

${Display-Operatorname {Ric} =R_{ij},dx^{i}otimes dx^{j}}$.

Die Koeffizienten ${displaystyle R_{ij}}$ sind dann (in Einstein-Notation) gegeben von

${displaystyle R_{ij}={R^{k}}_{ikj}}$.

Der Ricci-Tensor ist also die Spur des Riemann-Tensor.In Bezug auf die Christoffel-Symbole Der Ricci-Tensor ist gegeben durch:

${displaystyle R_{sigma u}={R^{ho}}_{sigma ho u}={Gamma _{u sigma}^{ho}}_{,ho}-Gamma _{ho sigma,u}^{ ho } Gamma _{ho lambda }^{ho }Gamma _{u sigma }^{lambda }-Gamma _{u lambda }^{ho }Gamma _{ho sigma }^{lambda }}$

wobei die Differenzierung mit einem Komma notiert wird: die Addition

${displaystyle, ho}$

ist eine abgekürzte Schreibweise für die Bewerbung ${displaystyle {frac {teilweise }{teilweise x^{ho }}}}$ auf die betreffende Menge.

Der Ricci-Tensor hat auch die Eigenschaft, symmetrisch zu sein:

${displaystyle R_{ij}=R_{ji}}$.

Die Dimension von ${displaystyle R_{mu u }}$ ist eins geteilt durch die Dimension der of ${Anzeigestil mu}$'die Koordinate, und dividiert durch die Dimension der ${displaystyle u}$die Koordinate.

EIN Vielfalt mit ${displaystyle R_{ij}=0}$ Wir nennen es auch Ricci-Flugzeug. Im Relativitätstheorie sind ricci flache räume de VakuumLösungen der Freizeit.

Siehe auch

• Einstein-Gleichung
• Tensoren in der Allgemeinen Relativitätstheorie