WikiDer > Skalare Krümmung
In dem Differentialgeometrie, und Relativitätstheorie, bezieht sich auf den Begriff skalare Krümmung zum Krümmung von a Riemann-Sorte. Es ist ein Skalarfunktion, die angibt, inwieweit a Oberfläche unterscheidet sich von der flacher Raum. Die skalare Krümmung sagt weniger über a . aus Vielfalt Dann ist die Ricci-Krümmung: es ist möglich, dass a nicht trivial Die Oberfläche hat eine skalare Krümmung gleich null, da die Oberfläche in einigen Richtungen positiv und in anderen Richtungen negativ gekrümmt ist, sodass die Gesamtkrümmung null ist. In einem solchen Fall ist die Ricci-Krümmung nicht Null. Nur zu zweit Maße die skalare Krümmung gibt ebenso viele Informationen wie die Ricci-Krümmung. In dem generelle Relativität ist die Krümmung von a Platz (an Orten, an denen es keine Angelegenheit gibt) im Zusammenhang mit dem kosmologische Konstante. Da es von Null verschieden ist, hat unser Universum eine (positive) Krümmung. In erster Näherung (wenn man die Materie in unserem Universum verschmieren würde) ist unser Universum also ein homogener, isotroper, positiv gekrümmter Raum, der mit a . beschrieben werden kann de Sitter-Metrik.
Definition
Angenommen Riemann-Sorte, mit metrisch und Ricci-Tensor
- .
Man definiert dann die skalare Krümmung R wenn es Spur des Ricci-Tensor:
Diese Definition gilt unabhängig von der Signatur des Raumes und gilt daher auch für Räume mit Lorentz-Signatur, die das zentrale Objekt der Relativitätstheorie sind. Wenn man Einstein-Summenkonvention kann auch geschrieben werden als
Dies kann als Erhöhen eines kovarianten Index und anschließendes Aufnehmen der Spur des erhaltenen Tensors angesehen werden, um einen Skalar zu erhalten. (Von einem Rang-(2,0)-Tensor über einen Rang-(1,1)-Tensor zu einem Skalar)
Man kann die Krümmung auch direkt durch Christophorus-Symbole:
nicht so wie Riemann Krümmung und der Ricci-Krümmung, kann die skalare Krümmung nur für eine Riemannsche Mannigfaltigkeit definiert werden, da sie auf der expliziten Form der Metrik beruht.
Anwendungen und geometrische Bedeutung
- Die skalare Krümmung tritt in der Definition des Einstein-Tensor, und folglich auch auf der linken Seite des Einstein-Gleichungen. Es ist daher ein wichtiges Konzept in der Allgemeinen Relativitätstheorie.
- In zwei Dimensionen ist die skalare Krümmung doppelt so groß wie Gaußsche Krümmung.
Letzteres legt nahe, dass die skalare Krümmung eine einfache geometrische Bedeutung hat. Wenn ein Raum positiv gekrümmt ist, ist das Volumen von a Ball kleiner als eine Kugel mit gleichem Radius im Euklidischer Raum. Ist ein Raum dagegen negativ gekrümmt, hat eine Kugel ein relativ größeres Volumen als im euklidischen Fall.
Es gibt viele Beispiele für Zimmer mit a konstante Krümmung. (Dies ist eine weniger strenge Anforderung als das Auferlegen einer konstanten Ricci-Krümmung.) Für Räume mit euklidischer Signatur umfassen diese die Ambiente, das eben- und der hyperbolisch Platz. In einem Raum mit Lorentz'scher Signatur, dem Minkowski-Tensor, das de Sitter-Metrik und der Anti-the-Sitter-Metrik Räume mit konstanter Krümmung. In den letzten beiden Fällen ist die skalare Krümmung konstant, die Ricci-Krümmung jedoch nicht.