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elementare Algebra oder "High School Algebra" ist die Grundform von Algebra. Während in der Arithmetik nur mit Beton Zahlen berechnet wird, kann in Algebra gefunden werden Abstraktion Platz und wird auch symbolisch gezählt, mit Konstanten und Variablen die Zahlen darstellen und durch Buchstaben und andere Symbole gekennzeichnet sind. Diese Abstraktion macht es möglich:

• die Berechnungsregeln allgemein formulieren
• die Eigenschaften der Zahlen untersuchen
• Gleichungen für unbekannte Größen aufstellen
• Funktionen definieren, die verschiedene Variablen in Beziehung setzen

Abstraktion

Abstraktion wird durch die folgende Situation demonstriert.

Wir zählen: 1,2,3, .... und werden unterbrochen, damit wir vergessen, wo wir angekommen sind. Welche Nummer sollen wir als nächstes nehmen? Wir sagen jetzt: Nennen Sie die letzte Nummer, die wir erwähnt haben'${displaystyle n}$, also das Folgende ist ${displaystyle n1}$. Sobald wir (wieder) wissen was ${displaystyle n}$ wir können wieder konkret werden.

Oder: Ich weiß, dass Piet 10 Jahre älter ist als Jan. Aber ich weiß nicht wie alt sie ist Spezifisch sein. Dann kann ich Beziehung zwischen ihnen Alter noch symbolisch. Nenne Jans Alter ${Anzeigestil j}$ und das von Piet ${displaystyle p}$, dann weiß ich: ${displaystyle p=j 10}$.

Ausdrücke

Die obigen Beispiele zeigen, dass wir in der Algebra mit Ausdrücke, in dem neben den arithmetischen Operationen neben Zahlen auch symbolische Konstanten und Variablen vorkommen. Nachfolgend finden Sie Beispiele für solche Ausdrücke. Es ist üblich, die beiden Faktoren in einem zu sehen Multiplikation direkt nebeneinander, oder, falls das verwirrend ist, getrennt durch ein · (einen Punkt weiter oben) statt einem ×.

${Anzeigestil x-1}$

${Anzeigestil x 2y}$

${Anzeigestil x^{2}-4}$

${Displaystil 2pi r}$

${displaystyle acdot cosx}$

Ähnlichkeiten

Jetzt sofort Gleichberechtigung gibt an, dass zwei Ausdrücke gleich sind. Wir schreiben die beiden Ausdrücke nacheinander mit einem = Zeichen dazwischen.

${Anzeigestil 2-1=1,}$

${Anzeigestil 2^{2}-4=0,}$

Unten sind ein paar mehr, in denen die Variablen ${Anzeigestil x}$ und ${Anzeigestil y}$ Aussehen:

${Anzeigestil x-1=-1x}$

${Anzeigestil x 2y=y x y}$

${Anzeigestil x^{2}-4=(x-2)(x2)}$

Gleichheiten sind immer wahr, egal welche Werte der Variablen verwendet werden.

Auswechslung

Wir können eine Variable in einem Ausdruck ersetzen, Ersatz, durch einen möglichen Wert dieser Variablen. Der Ausdruck ändert sich dann in einen anderen Ausdruck. Durch Substitution der Gleichheit ${Anzeigestil x=2}$, also durch für ${Anzeigestil x}$ Ersetzen des Wertes 2, werden die Ausdrücke zu:

${Anzeigestil 2-1}$

${displaystyle 2 2y}$

${Displaystil 2^{2}-4}$

${Displaystil 2pi r}$

Andere Gleichheiten können auch ersetzt werden. Wegen der Gleichberechtigung ${Anzeigestil x=2t}$, gibt einen Ausdruck ein ${Anzeigestil x}$ über in einen Ausdruck in ${displaystyle t}$.

${Anzeigestil x-1=(2t)-1}$

${Anzeigestil x 2y=(2 t) 2y}$

${Displaystil x^{2}-4=(2 t)^{2}-4}$

Vereinfachen

Es wird klar sein, dass in den soeben gefundenen Ausdrücken durch Substitution einige Berechnungen angestellt werden können: Einige der oben genannten können immer noch vereinfacht einbiegen in:

${Anzeigestil 2-1=1}$

${Anzeigestil 2^{2}-4=0}$

${Anzeigestil (2 t)-1 = t 1}$

${Displaystil (2 t)^{2}-4=4 t^{2} 4t-4=t^{2} 4t}$

Gleichungen

Manchmal sind zwei Ausdrücke nur für spezielle Werte der Variable(n) gleich. Wir sprechen dann von Gleichungen mit den Variablen wie Fremde. Die Werte der Unbekannten, für die die Gleichung eine Gleichheit ist, werden als bezeichnet Lösungen des Vergleichs.

${Anzeigestil x-1=3}$, mit der Lösung ${Anzeigestil x=4}$

${Anzeigestil x 2y=0}$, mit der Lösung ${Anzeigestil x=-2y}$

${Anzeigestil x^{2}-4=2-x}$, mit als Lösungen ${Anzeigestil x=2}$ und ${Anzeigestil x=-3}$

${displaystyle 3cdot {1 über x}={2 über 5}}$, mit der Lösung ${displaystyle x={15 über 2}}$

Von einem Unbekannten isolieren

Eine grundlegende Technik beim Arbeiten mit Gleichungen besteht darin, eine Unbekannte zu isolieren. Im obigen Beispiel, wo ${Anzeigestil x}$ wird ersetzt durch ${displaystyle 2t}$ ist das Unbekannte ${Anzeigestil x}$ isoliert, die ${Anzeigestil x}$ ist nur auf einer Seite des Gleichheitszeichens, ohne andere Terme oder Faktoren. ${Anzeigestil x}$ ist auch über der Linie.

Es gibt einige Regeln, um einen Ausdruck in einen isolierten unbekannten Ausdruck umzuwandeln. Die Grundlage dieser Regeln bilden die Übertragungsregeln und eine Reihe von Kombinationen reziproker Funktionen: Funktionen, die gegensätzlich sind.

Übertragungsregeln

Addition und Subtraktion

Summieren

Beispiel 1: isolieren ${Anzeigestil x}$ im:

${displaystyle xp=5}$

${Anzeigestil x}$ kann isoliert werden durch ${displaystyle p}$ sauber auf der linken Seite der Gleichung. Wenn Sie links und rechts vom Gleichheitszeichen dasselbe tun, bleibt die Gleichheit wahr. Der Wert links von der Gleichung muss vor und nach der Operation nicht gleich sein oder bleiben.^[1] Inzwischen links und rechts ${displaystyle p}$ Von dem Ausdruck subtrahieren wir:

${displaystyle xp-p=5-p}$

Unabhängig von dem Wert, den ${displaystyle p}$ hat ist ${Anzeigestil - p p}$ gleich Null, so dass:

${Anzeigestil x=5-p}$

subtrahieren

Beispiel 2: isolieren ${Anzeigestil x}$ im:

${Anzeigestil x - t = 2}$

${Anzeigestil x}$ kann isoliert werden durch ${displaystyle t}$ sauber auf der linken Seite der Gleichung. Wenn Sie links und rechts vom Gleichheitszeichen dasselbe tun, bleibt die Gleichheit wahr. Inzwischen links und rechts ${displaystyle t}$ Wir ergänzen den Ausdruck, den wir finden:

${Anzeigestil x - t t = 2 t}$

Unabhängig von dem Wert, den ${displaystyle t}$ hat ist ${displaystyle -tt}$ gleich Null, so dass:

${Anzeigestil x=2t}$

Die Regel

Die obigen Regeln werden oft wie folgt zusammengefasst: Ein Begriff kann mit umgekehrtem Vorzeichen auf die andere Seite verschoben werden. Genau genommen gilt: Durch Addition kompensieren Sie eine Subtraktion und umgekehrt, die Flip-Regel ist leicht zu merken.

Multiplizieren und dividieren

Auch bei der Multiplikation und Division wird von folgendem Gebrauch gemacht: links und rechts das Gleiche machen. Bei Addition und Subtraktion sorgen Sie dafür, dass die Aktion dazu führt, dass 0 addiert oder subtrahiert werden muss, bei Multiplikation und Division sorgen Sie dafür, dass eine der Seiten mit 1 multipliziert oder durch 1 geteilt werden muss. Dadurch ändert sich der Wert der Summe nicht.

Multiplizieren

Beispiel 3: isolieren ${Anzeigestil x}$ im:

${Anzeigestil x cdot 7=2}$

Wenn wir links und rechts durch 7 teilen, erhalten wir:

${displaystyle {x cdot 7 über 7}={2 über 7}}$

Dies kann vereinfacht werden zu:

${displaystyle x = {2 über 7}}$

Teilen

Beispiel 4: isolieren ${Anzeigestil x}$ im:

${displaystyle {x über 5}=2}$

Durch Multiplizieren von links und rechts mit 5 erhalten wir:

${displaystyle {xcdot 5 über 5}=2cdot 5}$

Dies kann vereinfacht werden zu:

${Anzeigestil x=2cdot 5=10}$

Die Regel

Die obigen Regeln werden oft wie folgt zusammengefasst: Ein Faktor vom Zähler kann auf die andere Seite verschoben werden, auf den Nenner und umgekehrt. Genau genommen geht es darum: Durch Multiplikation mit dem Kehrwert kompensiert man einen Faktor.

Wechselseitige Funktionen

Reziproke Funktionen zielen wie die Übertragungsregeln darauf ab, "lästige" Vorgänge sauberer zu machen. Bei der Verwendung reziproker Funktionen ist es wichtig, dass sie auf die gesamte linke und rechte Seite einer Gleichung angewendet werden.

Quadrat und Quadratwurzel

Quadrat- und Quadratwurzeln sind reziproke Funktionen: Die Wurzel eines Quadrats ist die Basis des Quadrats^[2].

Quadrat

Beispiel 5: Isolieren ${Anzeigestil x}$ im:

${Displaystil x^{2}=81}$

Das Ziehen der Quadratwurzel nach links und rechts ergibt:

${displaystyle {sqrt {x^{2}}}={sqrt {81}}}$

Jetzt ist:

${displaystyle {sqrt {x^{2}}}=|x|}$

und

${displaystyle {sqrt {81}}=9}$,

so dass

${Anzeigestil |x|=9}$

und

${displaystyle x=pm 9}$

Wurzel

Beispiel 6: Isolieren ${Anzeigestil x}$ im:

${displaystyle {sqrt {x}}=4}$

Quadrieren nach links und rechts ergibt nun:

${displaystyle {({sqrt {x}})}^{2}=4^{2}}$,

So

${Anzeigestil x=4^{2}=16}$

Die Regel

Die Regel wurde oben für Quadrat und Wurzel ausgearbeitet, gilt aber natürlich auch für höhere Potenzen und die entsprechenden Wurzeln. Die Regel lautet: Bei Potenzen verwendet man die Quadratwurzel der Potenz, die man eliminieren muss, beim Entfernen von Wurzeln die Potenz der Quadratwurzel.