WikiDer > . multiplizieren

Vermenigvuldigen

sehen Multiplikation für andere Bedeutungen von Multiplikation.

Produktkalkulation

Die Einmaleins

Es multiplizieren von zwei Zahlen ist eine arithmetische Operation.

Die Operation der Multiplikation der beiden Zahlen ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ wird geschrieben als ${Anzeigestil a imes b}$ . Die Nummer ${Anzeigestil a}$ wird Multiplikator angerufen und die Nummer ${displaystyle b}$ es Multiplikand. Es sind die beiden Faktoren der Multiplikation. Zur besseren Übersichtlichkeit wird es je nach Kontext manchmal als a . bezeichnet Multiplikator. Das Ergebnis der Multiplikation heißt Produkt (der Faktoren).

Wenn der Multiplikator ${Anzeigestil a}$ ein positive ganze Zahl ist, Multiplikation entspricht wiederholt summieren; mit anderen Worten, eine Summe von ${Anzeigestil a}$ Begriffe ${displaystyle b}$ :

{displaystyle a imes b=underbrace {b ldots b} _{a{ ext{ mal}}}}

Statt 18 mal die Zahl 24 zusammen addieren:

24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24,

ergibt 432,

einer schreibt:

18 × 24 (18 mal (oder Mahlzeit) 24)

und berechnet:

18 × 24 = 432

Das Ergebnis der Multiplikation, die Zahl 432, ist das Produkt von Multiplikator 18 und Multiplikand 24. Denn Multiplikation kommutativ ist, 18 × 24 = 24 × 18, Multiplikator und Multiplikand werden beide auch genannt Faktor angegeben.

Das Symbol für eine Multiplikation ist a Kreuz (×) oder etwas höher platziert Punkt (·), beide ausgesprochen als Mahlzeit oder mal.

Es können auch mehr als zwei Zahlen miteinander multipliziert werden. Das Produkt entsteht durch die wiederholte Multiplikation zweier Faktoren nacheinander, wobei das Zwischenergebnis die beiden als neuen Faktor ersetzt. Beispielsweise:

{displaystyle a imes b imes c=(a imes b) imes c}

Spezifisch:

{displaystyle 8 imes 5 imes 4=(8 imes 5) imes 4=40 imes 4=160}

Ein kleiner Multiplikator in einem Satz wird oft ausgedrückt als Prozentsatz, zum Beispiel eine Einkommensteuer von 20 % des Einkommens, wenn es das 0,2-fache des Einkommens beträgt.

Eigenschaften

Multiplikation ist kommutativ; das heißt, die Rollen von Multiplikator und Multiplikand können vertauscht werden, ohne dass sich das Produkt (das Ergebnis) ändert. (Dies gilt nicht für das Multiplizieren Matrizen).
Multiplikation ist assoziativ; das heißt, bei mehr als zwei Faktoren ändert die Reihenfolge, in der die Faktoren miteinander multipliziert werden, das Produkt (das Ergebnis) nicht.
Wenn eine Zahl mit der Zahl multipliziert wird 1 Eins), das Ergebnis ist die Zahl selbst. Die Nummer eins ist es neutrales Element für die Multiplikation.
Wenn eine Zahl mit der Zahl multipliziert wird 0 (null), ist das Produkt gleich 0 (null).
Das Produkt einer Zahl ${Anzeigestil a}$ , ungleich 0, und seine Umkehrung ${Displaystil 1/a}$ ist 1 (eins).
Bei einer ungeraden Anzahl negativer Faktoren ist das Produkt negativ. Bei einer geraden Anzahl negativer Faktoren ist das Produkt positiv.

Lerne zu multiplizieren

Multiplikation wird an der gelehrt Grundschule. Dabei gibt es drei wichtige Schritte.

Der erste Schritt zeigt bei kleinen Zahlen, dass die Multiplikation durch wiederholte Addition entsteht. Es werden einfache Beispiele verwendet, wie zum Beispiel: drei Kinder haben jeweils zwei Hände; zusammen haben sie sechs Hände. So: ${displaystyle 3imes 2=6.}$ Letztendlich führt dies zum Auswendiglernen der Einmaleins.

Im zweiten Schritt wird dies mit Zehner, Hunderter usw. kombiniert. Um 30 × 70 zu berechnen, wird zunächst berechnet: 3 × 7 = 21, also: 30 × 70 = 2100. Dies erkennt man unter anderem an der Anordnung von Zahlen in Reihen. Ein Bestand von 60 Autos kann in 6 Reihen zu 10 Autos angeordnet werden. Bei 4 solcher Bestände 4 × 6 = 24 Reihen zu je 10 Autos. Also: 240 Autos, und schließlich: 4 × 60 = 240. Hier wird aus Assoziativität der verwendeten Multiplikation: ${displaystyle a imes (b imes c)=(a imes b) imes c}$ , oder: 4 × (6 × 10) = (4 × 6) × 10.

Der dritte Schritt besteht darin, Zahlen in Teilen zu multiplizieren. Die Multiplikation 5 × 24 berechnet sich wie folgt: 5 × 24 = 5 × (20 4) = 5 × 20 5 × 4 = 100 20 = 120. Hier ist der Verteilungsfähigkeit der verwendeten Multiplikation: ${displaystyle a imes (b c) = (a imes b) (a imes c)}$ .

Untereinander multiplizieren

Die oben erläuterte Methode wird bei der sogenannten „Multiplikation untereinander“ systematisch angewendet. Die Methode wird anhand eines Beispiels verdeutlicht. Um das Produkt der Zahlen 4321 und 567 zu berechnen, werden die Zahlen untereinander mit den Ziffern ganz rechts genau untereinander geschrieben und darunter ein Strich. Die Berechnung erfolgt dann in mehreren Schritten.

Die obere Zahl wird mit der rechten Zahl der unteren multipliziert: 7×4321=30247.
Auch das geht Schritt für Schritt: zuerst 7×1=7. Dieses Ergebnis wird unterhalb der Linie notiert.
Dann 7×2=14. von denen die 4 notiert und die 1 'erinnert' wird, hier indem die 1 über die nächste Ziffer geschrieben wird.
Man fährt so fort: 7×3=21. Zusammen mit der 1 die man sich merken musste, sind das 22. Davon wird die 2 aufgeschrieben und die anderen 2 erinnert.
Schließlich: 7×4=28. Zusammen mit der erinnerten 2, also 30, die notiert wird.
Im nächsten Schritt wird 60×4321=259260 berechnet.
Die 0 wird sofort notiert und dann 6×4321 wie im ersten Schritt berechnet. Zuerst 6×1=6.
Dann 6×2=12; schreibe die 2 auf und erinnere dich an die 1.
Dann 6×3=18 Zusammen mit der erinnerten 1 ist das 19; schreibe die 9 auf und erinnere dich an die 1.
Schließlich 6×4=24. Zusammen mit der erinnerten 1 sind das 25.
Im nächsten Schritt wird 500×4321=2160500 berechnet.
Nun werden die beiden Nullen notiert und dann 5×4321=21605 wie in den anderen Schritten berechnet.
Schließlich müssen die Zwischenergebnisse addiert werden.
Ergebnis: 4321×567=2450007

               21        11        11     4321      4321      4321      4321      4321      567       567       567       567       567     ————      ————      ————      ————      ———— ×              30247     30247     30247     30247                       259260    259260    259260                                2160500   2160500                                          ———————                                            2450007

In der Praxis werden die Ergebnisse der Zwischenschritte nicht separat aufgeschrieben, sondern die Berechnung erfolgt sukzessive und am Ende wird nur die letzte „Spalte“ gesehen. Die Berechnung des Produkts von 19287 und 213 sieht also so aus:

     19287       213     ————— ×     57861    192870   3857400   ———————     4108131

Bei diesen Berechnungen werden nur Zahlen unter 10 miteinander multipliziert. Deshalb Einmaleins auswendig gelernt werden.

Diese Methode kann auch für Dezimalzahlen mit Komma darin verwendet werden ('Dezimalzahlen'), wenn die Anzahl der Nachkommastellen endlich ist (d.h. es gilt nicht für irrationale Zahlen oder sich wiederholende Brüche). Man muss nur die Position des Kommas im Endergebnis berücksichtigen. Als erstes Beispiel die Berechnung des Produkts von 19287 und 2,13

     1 9 2 8 7         2,1 3     ————————— ×     5 7 8 6 1   1 9 2 8 7 0 3 8 5 7 4 0 0 —————————————   4 1 0 8 1,3 1

Die Berechnung unterscheidet sich in keiner Weise von der Berechnung ohne Komma, außer dass im Endergebnis das Komma so platziert wird, dass 2 Stellen nach dem Komma stehen. Dies liegt daran, dass die zu multiplizierenden Zahlen auch 2 Nachkommastellen enthalten. (Die Zahlen sind nur aus typografischen Gründen wegen der Kommasetzung etwas mehr Platz geschrieben. Das hat keine weitere Bedeutung.)

Wenn beide Zahlen ein Komma enthalten, zum Beispiel bei der Berechnung des Produkts von 19,287 und 2,13, gilt dasselbe noch einmal. Jetzt gibt es insgesamt 5 Nachkommastellen, so dass das Endergebnis 5 Nachkommastellen beträgt.

     1 9,2 8 7         2,1 3     ————————— ×     5 7 8 6 1   1 9 2 8 7 0 3 8 5 7 4 0 0 —————————————   4 1,0 8 1 3 1

Alternative Methode

Eine andere Möglichkeit zur Durchführung einer Multiplikation ist die „Kreuzmultiplikation“, bei der die Summe mehrerer Produkte, wie sie in der traditionellen Berechnung sichtbar sind, auf ein Produkt reduziert werden kann, sodass nur die beiden Faktoren und das Produkt notiert werden. Im Beispiel von 24 × 18 ergibt sich das Produkt 432 durch die folgende Summe:

{displaystyle 24 imes 18=(20 4) imes (10 8)=20 imes 10 20 imes 8 4 imes 10 4 imes 8=200 160 40 32=432}

,

in "kreuzweise" Reihenfolge geschrieben

{displaystyle 24 imes 18=4 imes 8 4 imes 10 8 imes 20 20 imes 10=432}

Bei größeren Berechnungen führen die vielen Nullen zu Fehlern, insbesondere wenn das Produkt durch Kopfrechnen gefunden werden muss.

Zur Veranschaulichung der alternativen Methode folgendes Beispiel, jetzt ohne die Verwendung von Nullen:

            8 1 2 5 3         ×  2 3 6 7 4

                                 4*3 = 12; erinnere dich an 1, schreibe 2 (von rechts nach links) 1 4*5 7*3 = 42; erinnere dich an 4, schreibe 2 4 4*2 7*5 6*3 = 65; erinnere dich an 6, schreibe 5 6 4*1 7*2 6*5 3*3 = 63; merken Sie sich 6, notieren Sie 3 6 4*8 7*1 6*2 3*5 2*3 = 78; erinnere dich an 7, schreibe auf 8 7 7*8 6*1 3*2 2*5 = 85; erinnere dich an 8, schreibe 5 8 6*8 3*1 2*2 = 63; erinnere dich an 6, schreibe 3 6 3*8 2*1 = 32; erinnere dich an 3, schreibe 2 3 2*8 = 19; schreibe 19 . auf

Das Produkt dieser Aussage ist dann: 1923583522.

Für Kenner der 100er-Tabellen lässt sich die Berechnung noch schneller durchführen, nämlich:

        74*53 = 3922; merken Sie sich 39, schreiben Sie 22 39 74*12 36*53 = 2835 auf; merken 28, schreiben 35 28 74*8 36*12 2*53 = 1158, merken 11, schreiben 58 11 36*8 2*12 = 323; erinnere dich an 3, schreibe 23 3 2*8 = 19, schreibe 19

Notation und Terminologie

Mit einem Kreuz (Andreaskreuz) zum Beispiel als Zeitstempel ${displaystyle 3imes 2=6,}$ Entstammt aus William Ouightred und wird zuerst gefunden in Thomas HarriotsArtis analyticae-Praxis, 1631 posthum veröffentlicht.^[1] Dieses Symbol wird unter anderem auf Flämisch und Niederländisch gelehrt Grundschulen.

René Descartes einen Punkt als Zeitstempel verwendet.^[1] Der höhere Punkt (zum Beispiel ${Displaystil 3cdot 2=6}$ ) ist die am häufigsten verwendete Schreibweise in der Mathematik sowie in der Grundstufe in Deutschland. Das Kreuz ist wegen der möglichen Verwechslung mit dem oft in der Algebra verwendeten Buchstaben x ungeeignet.

Setzt man Zahlen nicht direkt nebeneinander, wird in der Mathematik meist gar kein Vorzeichen verwendet, zum Beispiel:

{displaystyle ab=a imes b}

{Displaystil 3a=3imes a}

{Anzeigestil (a 1) (b-1) = (a 1) imes (b-1)}

In den meisten Programmiersprachen ein Sternchen wird zum Beispiel verwendet 3*a*(b-1). Dies vermeidet Verwechslungen mit dem Buchstaben x und dem Punkt, der in Programmiersprachen als Dezimalpunkt dient.

Ein Produkt von null oder mehr Faktoren wird manchmal mit einem Multiplikationszeichen, dem Großbuchstaben, gekürzt Pi von dem griechisches Alphabet.

{displaystyle prod_{i=m}^{n}a_{i}=a_{m}cdot a_{m 1}cdot a_{m 2}cdot dots cdot a_{n-1}cdot a_{n}}

Hier sind ${displaystyle m}$ und ${displaystyle n}$ ganze Zahlen mit ${displaystyle ngeq m-1}$ . wenn ${Anzeigestil n=m-1}$ es gibt null faktoren. Das Produkt ist dann 1. Wenn ${Anzeigestil n=m}$ es gibt einen faktor. Das Produkt ist dann die Nummer selbst.

Zum Beispiel kann man ${displaystyle n}$ Fakultät schreibe auf als

{displaystyle n!=1cdot 2cdot ldots cdot (n-1)cdot n=prod _{i=1}^{n}i}

Werkzeuge

Multiplikationen tatsächlich durchführen ohne Taschenrechner ist eine schwierige Aktivität, insbesondere für größere Zahlen. Eine in der Vergangenheit weit verbreitete Methode beruhte auf der Eigenschaft von Logarithmen. Über das Produkt ${displaystyle acdotb}$ der beiden Zahlen ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ Um zu berechnen, ging man wie folgt vor, indem man die Beziehung verwendet:

{displaystyle log(acdot b)=log(a) log(b)}

Mit Hilfe von a Logarithmustabelle wurden die Logarithmen von ${Anzeigestil a}$ und von ${displaystyle b}$ und dann wurden sie addiert. Durch die Suche in der Logarithmustabelle wurde das Produkt gefunden:

{displaystyle acdot b=10^{log(a) log(b)}}

Auf diese Weise wurde die mühsame Multiplikation auf Addition reduziert.

Das Rechenschieber und der Rechenscheibe basierend auf dieser Methode.

Außerdem wurden mechanische Rechenmaschinen erfunden, später elektrische und elektronische. Es gibt noch separate Rechner, aber diese Funktion ist in der Regel verfügbar oder kann auf einem Smartphone oder Tablet installiert werden.

Umkehrung der Multiplikation

Die Umkehroperation der Multiplikation ist Teilen.

Wissenswertes

Das x-Symbol für die Multiplikation wird auch in einigen Aufzählungen von Zahlen verwendet. Beispielsweise kann man schreiben, dass ein Raum 4×5 Meter groß ist. Das ist in der Tat eine Vervielfachung, denn die Fläche beträgt 20 m².
In anderen Fällen ist die Verwendung eines Kreuzes weniger offensichtlich.
- Ein Rennradfahrer kann beispielsweise 42×22 einstellen, also ein Kettenblatt mit 42 Zähnen an den Pedalen und ein Ritzel mit 22 Zähnen am Rad. Allerdings gibt es hier keine Multiplikation. Es Widerstand ist verhältnismäßig mit der Anzahl der Zähne vorne und umgekehrt proportional zur Anzahl der Zähne hinten, also wäre 42:22 oder 42/22 eine korrektere Schreibweise.
- Die veraltete Zollgröße von a Fahrradreifen verwendet auch ein Kreuz, z.B. 28×1¹⁄₂. Dies ist auch keine Multiplikation.
- Ein gewöhnliches Auto wird als 4×2 bezeichnet, also vier Räder, von denen zwei angetrieben werden. Biene Allradantrieb man schreibt also 4×4. Trotz der Verwendung eines Kreuzes erfolgt hier keine Multiplikation.

Siehe auch

Quellen, Anmerkungen und/oder Verweise

↑ ^ein ^bKarl Fink, Geschichte der Elementarmathematik, englische Übersetzung Eine kurze Geschichte der Mathematik von Wooster Woodruff Beman und David Eugene Smith, The Open Court Publishing Company, Chicago 1990.

Siehe die Kategorie Multiplizieren von Wikimedia Commons für Mediendateien zu diesem Thema.

Mathematische Funktionen

Basisfunktionen:	summieren · subtrahieren · multiplizieren · Teilen · Potenzierung · Verwurzelung
Logarithmus:	Logarithmus · natürlicher Logarithmus · Exponentialfunktion
Trigonometrie:	Sinus und Cosinus · Tangens und Cotangens · Sekant und Kosekan
Umkehrfunktionen:	arcsinus · Arkuskosinus · Arkustangens · Arkuskotangens · Arcsecans · Arccosecans
Andere:	hyperbolische Funktionen

[Fink-1] Karl Fink, Geschichte der Elementarmathematik, englische Übersetzung Eine kurze Geschichte der Mathematik von Wooster Woodruff Beman und David Eugene Smith, The Open Court Publishing Company, Chicago 1990.

[1]

Navigation