WikiDer > Elliptisches Integral

EIN elliptisches Integral ist ein Integral- des Formulars

${displaystyle int Rleft(x,{sqrt {P(x)}}ight)mathrm {d} x}$

in welchem ${Anzeigestil R}$ ein rationale Funktion von zwei Variablen ist und ${Anzeigestil P(x)}$ ein dritter oder vierter Grad Polynom ohne mehrere Nullen. Diese Art von Integral entsteht unter anderem bei der Berechnung des Umfangs von a Ellipse, was auch den Namen erklärt.

Elliptische Integrale lassen sich nicht in elementaren Funktionen ausdrücken, sondern können auf eine Kombination aus elementaren Funktionen und den unten genannten Integralen reduziert werden. Dies sind die elliptischen Integrale der ersten, zweiten und dritten Art.

1. Art: ${displaystyle int {frac {mathrm {d} x}{sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}}$

2. Art: ${displaystyle int {sqrt {frac {1-k^{2}x^{2}}{1-x^{2}}}},mathrm {d} x}$

3. Art: ${displaystyle int {frac {mathrm {d} x}{(1 hx^{2}){sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}} }}$

In Ergänzung, ${Anzeigestil 0$. Durch Auswechslung diese Integrale können auf unvollständige elliptische Integrale reduziert werden.

1. Art: ${displaystyle int {frac {mathrm {d} heta }{sqrt {1-k^{2}(sin heta)^{2}}}}}$

2. Art: ${displaystyle int {sqrt {1-k^{2}(sin heta)^{2}}},mathrm {d} heta}$

3. Art: ${displaystyle int {frac {mathrm {d} heta }{(1 h(sin heta)^{2}){sqrt {1-k^{2}(sin heta)^{2}}}}}}$

Für diese Integrale wurden Tabellen erstellt.

Externe Links

• Mathworld