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Ellipse als Kegelschnitt

Einige Begriffe illustriert

EIN Ellipse (griechisch ἔλλειψις, das Versagen) ist in der Mathematik ein flache Kurve bei dem die Summe der Entfernungen aller Punkte auf der Kurve zu zwei Schwerpunkte ist konstant. Die Ellipse ist ein genau definierter Spezialfall des weiten Begriffs Oval.

EIN Kreis ist ein Sonderfall einer Ellipse. Je nach Kontext kann die Verwendung des Wortes Ellipse einen Kreis enthalten oder nicht, genau wie Rechteck und Quadrat.

Eine Ellipse ist auch a Kegelschnitt, gebildet durch den Schnittpunkt eines Kegels oder Zylinders mit a ebene Fläche. Die ebene Fläche muss die Kegelachse oder die Zylinderachse schneiden. Beim Schneiden mit dem Konus muss der Winkel zwischen der Konusachse und der ebenen Fläche größer als die Hälfte des sein Öffnungswinkel des Kegels.

Definition

Ellipse mit Halbachsen (${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$) und Schwerpunkte

Eine Ellipse im Geometrie ist eine zweidimensionale Figur, die die Ort ist von allem Punkte für die die Summe der Entfernungen (rote Linie in der Abbildung) zu zwei ausgewählten Punkten, die Brennpunkte (${displaystyle f1}$ und ${displaystyle f2}$ in der Abbildung) hat einen festen Wert. Eine Ellipse hat zwei Achsen: es Liniensegment durch die Brennpunkte, die gegenüberliegende Punkte der Ellipse verbinden, wird die Hauptachse oder die Hauptachse der halben Länge genannt ${Anzeigestil a}$ und das entsprechende Segment senkrecht dazu durch das Zentrum der Hauptachse ist Nebenachse oder Nebenachse, mit halber Länge ${displaystyle b}$.

Bei einem Kreis sind die Haupt- und Nebenachse gleich lang und die Richtung der Hauptachse ist unbestimmt. Wenn die Ellipse kein Kreis ist, hat sie dasselbe Symmetrie wie ein Rechteck. Der Kreis hat mehr Symmetrie, auch mehr als ein Quadrat.

Alternative Definition basierend auf Brennpunkt und Leitlinie

Eine Ellipse als Ansammlung von Punkten, deren Verhältnis zwischen der Entfernung zu einem Fokus und der zu einer Leitlinie konstant ist

Eine Ellipse ist die Ort der Punkte in der ebene Fläche wobei das Verhältnis des Abstands von einem beliebigen Punkt, der als Fokus bezeichnet wird, zum Abstand von einer beliebigen Linie, die als Leitlinie bezeichnet wird, konstant ist. Dieses konstante Verhältnis ist gleich dem Exzentrizität der Ellipse, dargestellt durch ${displaystyle e}$. Muss mich bewerben ${Anzeigestil 0$ (siehe auch Exzentrizität (Astronomie)). Die Exzentrizität bestimmt die Form der Ellipse, zusätzlich gibt es Parameter ${Anzeigestil a}$ für die Größe.

Die nächste Leitlinie entspricht beiden Brennpunkten der Ellipse. Sie verlaufen parallel zur Nebenachse und haben einen Abstand von ${displaystyle {frac {a}{e}}}$ davon. Der Abstand von der Ellipse zur Leitlinie beträgt ${displaystyle {frac {a}{e}}-a}$, das ist für ${displaystyle eca. 1}$ ungefähr gleich ${Anzeigestil a(1-e)}$. Der Abstand vom jeweiligen Brennpunkt zur Ellipse ist daher ungefähr gleich diesem. wenn ${displaystyle e}$ nähert sich von unten auf 1 und ${Anzeigestil a(1-e)}$ gleich gehalten wird, und ${Anzeigestil a}$ Damit nähert sich die Ellipse nahe dem fraglichen Brennpunkt und die fragliche Leitlinie a Parabel, deren Achse die Hauptachse der Ellipse ist, und mit einer noch senkrecht zu dieser Achse stehenden Direktive. Insgesamt gesehen sind die sehr lange Ellipse und die Parabel sehr unterschiedlich, da die Parabel keine kurze Achse und damit auch keine zweite Symmetrieachse hat.

gilt für einen Kreis ${Anzeigestil e=0}$. Für einen entarteten Kreis bestehend aus einem Punkt (den koinzidenten Brennpunkten) ist jede Linie eine Richtlinie, für andere Kreise gibt es keine Richtlinie und die genannte Definition/Eigenschaft gilt nicht.

Als Konfliktlinie zwischen einem Kreis und einem Punkt

Die Ellipse als Konfliktlinie, mit Kreis C als Leitlinie; für jeden punkt ${Anzeigestil P}$ auf der Ellipse die Entfernung vom gegebenen Punkt ${displaystyle F_{1}}$ gleich der Entfernung vom Kreis ist; die Mitte ${Anzeigestil M}$ des Kreises ist auch der zweite Brennpunkt ${displaystyle F_{2}}$ der Ellipse

Die Ellipse kann auch interpretiert werden als Konfliktlinie zwischen einem Punkt und einem Kreis, der dann Directrix oder Directrix genannt wird. Der gegebene Punkt ist dann ein Brennpunkt, der Mittelpunkt des gegebenen Kreises ist der andere Brennpunkt.

Wie die Kontraktion eines Kreises

Eine Ellipse entsteht durch Kontraktion eines Kreises in eine Richtung mit einem festen Faktor, wie in orthogonale Projektion eines schrägen Kreises.

Eigenschaften

Exzentrizität

Das Exzentrizität${displaystyle e}$ der Ellipse mit Halbachsen ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ ist definiert als:

${displaystyle e={sqrt {1-{b^{2} über a^{2}}}}}$

Schwerpunkte

Der Abstand zwischen einem Brennpunkt und dem Zentrum beträgt:

${displaystyle c={sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$

Außerdem gilt:^[1]

${displaystyle c=acdot e}$

Die Tangente ist die äußere Winkelhalbierende des Winkels Fokus-Tangens-Fokus

Tangente

Eine Tangente an einem Punkt an eine Ellipse ist die Außenhalbierende des Brennpunkt-Tangens-Brennpunkt-Winkels.

Oberfläche

Die Oberfläche ${Anzeigestil A}$ einer Ellipse mit großer Halbachse ${Anzeigestil a}$ und halbkurze Achse ${displaystyle b}$ wird gegeben von:

${displaystyle A=pi ab}$

Umfang

Ellipsen mit gleichem Umfang

Es gibt keinen Ausdruck für den Umfang einer Ellipse in elementare Funktionen. Der Umfang lässt sich als Integral darstellen, also auch elliptisches Integral heiß. Für die Ellipse mit der parametrischen Gleichung

${Anzeigestil x=acos(t),y=bsin(t)}$,

wird der Umfang ${Anzeigestil O}$ gegeben von

${displaystyle { egin{aligned}O&=int limit _{0}^{2pi }{sqrt {left({frac {mathrm {d} x}{mathrm {d} t}}ight)^{2} left({ frac {mathrm {d} y}{mathrm {d} t}}ight)^{2}}} mathrm {d} t/&=4aint limit _{0}^{frac {pi}{2}}{sqrt {sin ^{2}(t) left({frac {b}{a}}ight)^{2}cos ^{2}(t)}} mathrm {d} t/&=4aint limit _{0} ^{frac {pi }{2}}{sqrt {1-e^{2}cos ^{2}(t)}} mathrm {d} t/&=4int-Grenzen _{0}^{frac {pi } {2}}{sqrt {1-e^{2}sin ^{2}(t)}} mathrm {d} t=4a,mathrm {E} (e).end{aligned}}}$

Darin ist ${displaystyle mathrm {E} }$ ein von hier absteigendes elliptisches Integral zweiter Art ${Anzeigestil pi /2}$ vor dem ${Anzeigestil e=0}$ (Länge eines Viertels des Einheitskreises) zu ${Anzeigestil 1}$ vor dem ${displaystyle e=1}$ (Länge eines Viertels des Umfangs von a degeneriert Ellipse bestehend aus einem Liniensegment der Länge 2), das zweimal gekreuzt wird.

Srinivasa Ramanujan gibt zwei gute Näherungen für den Umfang in §16 von "Modular Equations and Approximations to ${Anzeigestil pi}$";^[2] nämlich:

${displaystyle Capprox pi left[3(ab)-{sqrt {(3a b)(a 3b)}}ight]=pi left[3(ab)-{sqrt {10ab 3left(a^{2} b^{2 }Nacht)}}Nacht]}$

und

${displaystyle Capprox pi left(a bight)left(1 {frac {3h}{10 {sqrt {4-3h}}}}ight)}$

in welchem ${displaystyle h=(a-b)^{2}/(a b)^{2},}$.

Die Fehler in diesen Näherungen liegen in der Größenordnung von ${Anzeigestil h^{3}}$ und ${displaystyle h^{5}}$.

Gleichungen

Mittelpunktgleichung

Das Mathematiker Gleichung für die um den Punkt zentrierte Ellipse${Anzeigestil (x_{0},y_{0})}$ als große (horizontale) Halbachse ${Anzeigestil a}$ und als kleine (vertikale) Halbachse ${displaystyle b}$ ist in der ${Anzeigestil xy}$- Koordinatensystem:

${displaystyle left({frac {x-x_{0}}{a}}ight)^{2} left({frac {y-y_{0}}{b}}ight)^{2}=1}$

Wenn es Center der Ellipse der Ursprung ist, vereinfacht sich dies zu:

${displaystyle left({frac {x}{a}}ight)^{2} left({frac {y}{b}}ight)^{2}=1}$

(Zur Herleitung aus der oben erwähnten Definition einer Ellipse siehe unten.)

Im Polar Koordinaten relativ zur Mitte

${displaystyle r(heta)={frac {ab}{sqrt {(bcos heta)^{2} (asin heta)^{2}}}}}$

In Polarkoordinaten zu einem Brennpunkt

Längsachse horizontal, Brennpunkt links als Pol, mit Exzentrizität${displaystyle e}$

${displaystyle r(heta)={frac {a(1-e^{2})}{1-ecos heta}}quad { ext{with}}quad 0leq heta <2pi}$

In einer etwas allgemeineren Form einer Ellipse mit einem Brennpunkt als Pol und dem anderen in einem Winkel ${Anzeigestil phi}$ relativ zum Ursprung:

${displaystyle r(heta)={frac {a(1-e^{2})}{1-ecos(heta -phi)}}}$

(Siehe auch die Polargleichung eines Kegelschnitts.)

Parametervergleich

Die parametrische Gleichung für die Ellipse um den Punkt zentriert${Anzeigestil (x_{0},y_{0})}$ als große (horizontale) Halbachse ${Anzeigestil a}$ und als kleine (vertikale) Halbachse ${displaystyle b}$ lautet:

${displaystyle x(t)=x_{0} acos(t)}$,

${displaystyle y(t)=y_{0} bsin(t)}$.

Bau einer Ellipse

Ellipse des Gärtners

Eine Ellipse kann wie folgt gezeichnet werden:

1. Drücken Sie zwei Reißnägel in die Brennpunkte (oder schlagen Sie zwei Nägel in ein Brett)
2. Machen Sie eine Fadenschlaufe und legen Sie diese Schlaufe um die Reißnägel.
3. Legen Sie einen Bleistift gegen die Schnur und ziehen Sie sie fest.
4. Zeichnen Sie die Ellipse mit dem Bleistift und achten Sie darauf, dass die Schnur straff bleibt.

Der Draht stellt sicher, dass die Summe der Entfernungen zu den Brennpunkten von jedem Punkt der Ellipse konstant ist, dh gleich der Länge des Drahtes minus dem Abstand zwischen den Reißnägeln.

Eine Ellipse auf diese Weise zu konstruieren heißt auch Gärtnerellipse (Gärtnerbau), denn so werden die Kanten von elliptischen Beeten natürlich mit Streikposten anstelle von Reißzwecken. Diese Methode ist in der Praxis ungenau. Varianten der Gärtnermethode können verwendet werden, um Ovale konstruieren.

Wenn die gewünschten Maße des Bettes ${Displaystil 2a imes 2b}$ sein (lange Achse durch kurze Achse, wobei ${Anzeigestil a>b}$ vorausgesetzt), führt dies zu folgendem Abstand zwischen den Streikposten:

Ellipsenkompass

${displaystyle 2{sqrt {a^{2}-b^{2}}}=2c}$

Die Länge des Drahtes – der Schleife – um die Streikposten ist also gleich ${Anzeigestil 2a 2c}$.

Ellipsenkompass

Der niederländische Mathematiker Frans van Schooten erfand im 17. Jahrhundert zwei Typen Ellipsen. Die gebräuchlichste ist eine Kreuzform, die andere verwendet eine Variation der Gärtnermethode. Von den bekannten elliptischen Konstruktionen, die mit einfachen mechanischen Mitteln hergestellt werden können, ist der kreuzförmige Zirkel in der Praxis am genauesten.

Bau von Gräbern

sehen Bau von Gräbern für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Bei einer gegebenen Ellipse mit einer Drahtschleife länger als die Umfang der gegebenen Ellipse kann eine neue Ellipse konstruiert werden: span with a Bleistift ziehen Sie die Schlaufe fest um die Ellipse und zeichnen Sie so die neue Figur. Eine zweite Ellipse wird mit den gleichen Brennpunkten wie die gegebene Ellipse erstellt. Dies ist die Konstruktion von Graves.

Konstruktion basierend auf der parametrischen Gleichung

Konstruktion mit parametrischer Gleichung

Eine andere Möglichkeit, eine Ellipse zu zeichnen, basiert auf dem eingeschriebenen und umschriebenen Kreis und dem parametrische Gleichung. Der Radius (Radius) des umschriebenen Kreises ist gleich der großen Halbachse ${Anzeigestil a}$ der Ellipse, und die des einbeschriebenen Kreises ist gleich der kleinen Halbachse ${displaystyle b}$ der Ellipse. Diese Kreise sind konzentrisch; sie haben das gleiche Zentrum. Zeichnen Sie nun einen gemeinsamen Radius vom Mittelpunkt der Kreise nach außen (siehe Animation, rot). Von dem Punkt, an dem dieser Strahl den eingeschriebenen Kreis schneidet, ziehen Sie eine Linie nach außen (Abb.: gold) und parallel zur Längsachse der zu erhaltenden Ellipse, und dort, wo der Strahl den umschriebenen Kreis schneidet, ziehen Sie eine Linie nach innen to und parallel zur Nebenachse der zu erhaltenden Ellipse. Dort, wo sich beide Geraden schneiden, gibt es einen neuen Punkt der Ellipse (Abb.: grün).

Herleitung der Gleichung

Ellipse :${Anzeigestil a>0}$ :${displaystyle 0leq c$ :${displaystyle c^{2}=a^{2}-b^{2}}$ :${Displaystil r_{1} r_{2}=2a}$

Die nebenstehende Abbildung zeigt eine Ellipse zentriert im Ursprung und die Hauptachse entlang der x-Achse. Die große Halbachse ist ${Anzeigestil a}$ und die kleine Halbachse ${Anzeigestil b.}$ Ein Punkt ${Anzeigestil P=(x,y)}$ auf der Ellipse hat die Abstände ${displaystyle r_{1}}$ und ${displaystyle r_{2}}$ zu den jeweiligen Schwerpunkten ${displaystyle F_{1}}$ und ${displaystyle F_{2}}$, was in der Ferne liegt ${Anzeigestil c}$ von der Mitte liegen.

Vor dem ${Anzeigestil P=(0,b)}$ auf der positiven y-Achse gemäß Satz des Pythagoras:

${Anzeigestil a^{2}=b^{2} c^{2}}$

woraus folgt die Formel für den Abstand vom Fokus zum Zentrum:

${displaystyle c={sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$

Für die Entfernungen ${displaystyle r_{1}}$ und ${displaystyle r_{2}}$ nach Pythagoras:

${displaystyle r_{1}^{2}=(x c)^{2} y^{2}}$

und

${displaystyle r_{2}^{2}=(x-c)^{2} y^{2}}$

so dass:

${displaystyle r_{1}^{2}-r_{2}^{2}=4cx}$

Jetzt ist

${displaystyle r_{1}^{2}-r_{2}^{2}=(r_{1} r_{2})(r_{1}-r_{2})}$

nach der Definition einer Ellipse gilt für die Summe:

${Displaystil r_{1} r_{2}=2a.}$

also für den unterschied:

${displaystyle r_{1}-r_{2}=2{frac {c}{a}}x}$

Ausbeuten lösen:

${displaystyle r_{1}=a {frac {c}{a}}x}$ und ${displaystyle r_{2}=a-{frac {c}{a}}x}$

Dies folgt wiederum:

${displaystyle r_{1}^{2} r_{2}^{2}=2a^{2} 2{frac {c^{2}}{a^{2}}}x^{2}.}$

Andererseits:

${displaystyle r_{1}^{2} r_{2}^{2}=(xc)^{2} (xc)^{2} 2y^{2}=2x^{2} 2c^{2} 2y ^{2}}$

so dass:

${displaystyle a^{2} {frac {c^{2}}{a^{2}}}x^{2}=x^{2} c^{2} y^{2}}$

oder sonst geschrieben:

${displaystyle a^{2}-c^{2}={frac {a^{2}-c^{2}}{a^{2}}}x^{2} y^{2}}$

weil ${displaystyle b^{2}=a^{2}-c^{2}}$ folgt:

${displaystyle left({frac {x}{a}}ight)^{2} left({frac {y}{b}}ight)^{2}=1}$

Aus diesen Berechnungen folgt, dass für einen Punkt ${Anzeigestil P=(x,y)}$ auf der Ellipse erfüllen die Koordinaten die Gleichung

${displaystyle left({frac {x}{a}}ight)^{2} left({frac {y}{b}}ight)^{2}=1}$

Umgekehrt kann man zeigen, dass wenn für jeden Punkt ${Anzeigestil P=(x,y)}$ die Koordinaten erfüllen diese Gleichung, der Punkt ${Anzeigestil P}$ liegt zwangsläufig auf dieser Ellipse.

Schlussfolgerung: Die Gleichung dieser Ellipse ist

${displaystyle left({frac {x}{a}}ight)^{2} left({frac {y}{b}}ight)^{2}=1}$

Zwiebeln von Löwenzahn

Zwiebeln von Löwenzahn

Dass es sich bei diesem Ort tatsächlich um einen Kegelschnitt handelt, kann man an Dandelins Sphären erkennen, benannt nach Germinal Pierre Dandelin, wobei die Tatsache ausgenutzt wird, dass alle Tangenten von einem Punkt an eine Kugel gleich lang sind. Die im Kegel platzierten Kugeln berühren die Ellipse an den Brennpunkten (siehe Abbildung).

Siehe auch

• Ellipsoid (Körper der Revolution einer Ellipse)
• Kegelschnitt
• Super Ellipse
• Schneckenstruktur (Architektur/Stadtplanung)
• Pseudoellipse
• Keplers erstes Gesetz: Ein Planet folgt einer elliptischen Bahn um die Sonne
• Oval

Externer Link

• Umfang und Fläche einer Ellipse
• (und) Berechne den Umfang einer Ellipse

Siehe die Kategorie Ellipsen von Wikimedia Commons für Mediendateien zu diesem Thema.