WikiDer > Äquivalente Matrizen

Innerhalb der Lineare Algebra, eine Unterregion der Mathematik, heißen die ${displaystyle mimen n}$-Matrizen${Anzeigestil A}$ und ${Anzeigestil B}$Äquivalent wenn es einen gibt invertierbar${displaystyle m imes m}$-Matrix ${Anzeigestil P}$ und ein invertierbarer ${Anzeigestil n imes n}$-Matrix ${Anzeigestil Q}$ existieren, so dass

${Displaystil B=PAQ}$

Äquivalente Matrizen können als Matrizen derselben linearen Abbildung betrachtet werden, jedoch in Bezug auf verschiedene Basen. Dies zeigt sich an der Wahl der Basen ${displaystyle v_{1}}$ und ${displaystyle v_{2}}$ von ${displaystyle n}$ Vektoren in ${Anzeigestil V,}$ und ${displaystyle w_{1}}$ und ${displaystyle w_{2}}$ von ${displaystyle m}$ Vektoren in ${Anzeigestil W,}$ so dass die Matrizen ${Anzeigestil Q}$ und ${Anzeigestil P}$grundlegende Transformationen sein,

${displaystyle Q=K_{v_{1}}K_{v_{2}}^{-1}quad }$ des Übergangs von ${displaystyle v_{1}}$ auf ${displaystyle v_{2}}$

und

${displaystyle P=K_{w_{2}}K_{w_{1}}^{-1}quad }$ des Übergangs von ${displaystyle w_{1}}$ auf ${displaystyle w_{2}}$

Darin sind

${displaystyle K_{v_{1}}:V o mathbb {R} ^{n}}$

${displaystyle K_{v_{2}}:V o mathbb {R} ^{n}}$

${displaystyle K_{w_{1}}:W o mathbb {R} ^{m}}$

${displaystyle K_{w_{2}}:W o mathbb {R} ^{m}}$

die entsprechenden Koordinationen. Dann ist

${displaystyle B=PAQ=K_{w_{2}}K_{w_{1}}^{-1}AK_{v_{1}}K_{v_{2}}^{-1},}$

So

${displaystyle K_{w_{2}}^{-1}BK_{v_{2}}=K_{w_{1}}^{-1}AK_{v_{1}}={mathcal {L}}:V oder W}$

eine lineare Abbildung in Bezug auf die verschiedenen Basen durch beide ${Anzeigestil A}$ Wie bei ${Anzeigestil B.}$

Äquivalenzbeziehung

Tatsächlich ist die Äquivalenzbeziehung zwischen Matrizen a Äquivalenzrelation, weil:

• (Reflexivität) Jede Matrix ist mit sich selbst äquivalent; wählen ${Anzeigestil P}$ und ${Anzeigestil Q}$ das passende Einheitsmatrizen.
• (Symmetrie) Wenn ${Anzeigestil A}$ gleichwertig ${Anzeigestil B,}$ ist auch ${Anzeigestil B}$ gleichwertig ${Anzeigestil A,}$ weil ${Anzeigestil P}$ und ${Anzeigestil Q}$ sind beide invertierbar, also

${Anzeigestil A=P^{-1}BQ^{-1}}$

• (Transivität) Wenn ${Anzeigestil A}$ ist äquivalent zu ${Anzeigestil B,}$ und ${Anzeigestil B}$ gleichwertig ${Anzeigestil C,}$ gilt:

${Displaystil B=PAQ}$

und

${Anzeigestil C=RBS}$,

so dass

${Anzeigestil C=(RP)A(QS)}$

und so ist es auch ${Anzeigestil A}$ gleichwertig ${Anzeigestil C.}$

Eigentum

Äquivalente Matrizen haben das gleiche Rang.

Siehe auch

• Ähnliche Matrizen
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