WikiDer > Äquivalenzbeziehung

In dem Mathematik ist ein Äquivalenzrelation ein Doppelbeziehung diese alle Elemente von einem Sammlung die in gewissem Sinne einander gleichwertig sind. Eine Äquivalenzrelation unterteilt die Menge in Klassen von Elementen, die zueinander äquivalent sind. Geboren am selben Tag wie ist zum Beispiel eine Äquivalenzrelation, die die Menge aller Personen in Gruppen von am selben Tag geborenen Personen einteilt.

Definition

EIN Äquivalenzrelation auf einen Sammlung${Anzeigestil X}$ ist ein Doppelbeziehung${displaystyle sim}$ auf ${Anzeigestil X}$ für die gilt:

Reflexivität: für alle ${displaystyle xinX}$ zählt das ${displaystyle xsim x}$

Symmetrie: für alle ${Anzeigestil x,yin x}$ gilt als ${Anzeigestil xsim y}$ als ${displaystyle ysim x}$

Transitivität: für alle ${Anzeigestil x,y,Satz X}$ gilt als ${Anzeigestil xsim y}$ und ${displaystyle ysim z}$ als ${displaystyle xsim z}$

Eine Äquivalenzrelation kann auch als Zweipositionsrelation definiert werden ${displaystyle sim}$ auf ${Anzeigestil X}$ mit der Eigenschaft, dass:

Reflexivität: für alle ${displaystyle xinX}$ zählt das ${displaystyle xsim x}$ und

Euklidizität: für alle ${Anzeigestil x,y,Satz X}$ gilt als ${Anzeigestil xsim y}$ und ${displaystyle xsim z,}$ als ${displaystyle ysim z}$

Die beiden Definitionen sind Äquivalent. Das heißt, wenn ${displaystyle sim}$ eine Äquivalenzrelation nach der ersten Definition ist, dann ist ${displaystyle sim}$ auch eine Äquivalenzrelation nach der zweiten Definition und umgekehrt.

Beispiele

• Die Beziehung "hat den gleichen absoluten Wert" ist eine Äquivalenzrelation auf den ganzen Zahlen.
• Die Beziehung 'ist größer als' ist keine Äquivalenzrelation, da sie nicht symmetrisch und reflexiv ist.
• Die Beziehung "ist verheiratet mit" ist keine Äquivalenzrelation auf der Menge aller Personen, da sie nicht reflexiv ist.
• Die Beziehung 'ist ähnlich wie' ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller Dreiecke in einer Ebene.
• Die Beziehung "unterscheidet sich höchstens um einen Buchstaben von" ist keine Äquivalenzrelation auf der Menge der niederländischen Wörter, da sie nicht transitiv ist.
• Die identische Transformation von ${Anzeigestil A}$ (die Menge aller identischen Paare von ${Anzeigestil A}$) ist die kleinstmögliche Äquivalenzrelation auf ${Anzeigestil A}$.
• Das komplette kartesische Produkt ${displaystyle A imes A}$ ist die größtmögliche Äquivalenzrelation auf ${Anzeigestil A}$.
• In einem pseudometrischer Raum ist die beziehung hat Abstand 0 bis eine Äquivalenzrelation. Die Transitivität folgt aus Dreiecksungleichung.
• Die Beziehung gehört zum selben Haushalt ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge von Personen.

Äquivalenzklasse

wenn ${displaystyle sim}$ eine Äquivalenzrelation ist auf ${Anzeigestil X}$, heißt die Teilmenge der Elemente von ${Anzeigestil Yin X}$ die dem Element äquivalent sind ${displaystyle xinX}$ das Äquivalenzklasse${displaystyle [x]_{sim }}$ von ${Anzeigestil x}$ unten ${displaystyle sim}$:

${displaystyle [x]_{sim }={yin Xmid ysim x}}$

Wenn aus dem Kontext ersichtlich ist, welche Äquivalenzrelation gemeint ist, ist es meist einfach ${Anzeigestil [x]}$ geschrieben für die Äquivalenzklasse von written ${Anzeigestil x}$.

Eigenschaften

Sie ${displaystyle sim}$ eine Äquivalenzrelation auf ${Anzeigestil X}$.

Eigenschaft 1

Für alle ${displaystyle xinX}$ zählt das ${displaystyle xin[x]}$. jeder ${displaystyle xinX}$ ist also in mindestens einer Äquivalenzklasse von ${Anzeigestil X}$.

Beweise

Sie ${displaystyle xinX}$. Aus der Reflexivität von ${displaystyle sim}$ folgt das ${displaystyle xsim x}$, was bedeutet ${displaystyle xin[x]}$.

Eigenschaft 2

Für alle ${Anzeigestil x,yin x}$ gilt als ${Anzeigestil xsim y}$, dann ist ${Anzeigestil [x]=[y]}$; ${Anzeigestil x}$ und ${Anzeigestil y}$ sind in der gleichen Äquivalenzklasse.

Beweise

Sie ${Anzeigestil x,yin x}$, so dass ${Anzeigestil xsim y}$. Nimm ein beliebiges Element ${displaystyle uin[x]}$, dann ist ${displaystyle uin[y]}$. Denn aus der Definition von Äquivalenzklasse und das ${displaystyle uin[x]}$ folgt das ${displaystyle xsim u}$. Aus der Symmetrie von ${displaystyle sim}$ und ${Anzeigestil xsim y}$ folgt das ${displaystyle ysim x}$. So ist es auch ${displaystyle ysim u}$, woraus folgt, dass ${displaystyle uin[y]}$. Dies beweist, dass ${displaystyle [x]subseteq [y]}$. Auf die gleiche Weise, aber ohne die Symmetrie zu verwenden, können wir beweisen, dass ${displaystyle [y]subseteq [x]}$, woraus folgt, dass ${Anzeigestil [x]=[y]}$. Denn aus Eigenschaft 1 folgt, dass ${displaystyle xin[x]}$ und ${Anzeigestil yin [y]}$, heißt das ${Anzeigestil x}$ und ${Anzeigestil y}$ sind in der gleichen Äquivalenzklasse.

Eigentum 3

Für alle ${Anzeigestil x,y,Satz X}$ gilt als ${displaystyle xin[y]}$ und ${displaystyle xin[z]}$, ist ${Anzeigestil [y]=[z]}$. jeder ${displaystyle xinX}$ ist also in höchstens einer Äquivalenzklasse von ${Anzeigestil X}$.

Beweise

Sie ${Anzeigestil x,y,Satz X}$ so dass ${displaystyle xin[y]}$ und ${displaystyle xin[z]}$. Aus der Definition von Äquivalenzklasse dann folgt das ${displaystyle ysim x}$ und ${displaystyle zsim x}$. Die Symmetrie von ${displaystyle sim}$ dann gibt ${displaystyle xsim z}$. Also jetzt ${displaystyle ysim x}$ und ${displaystyle xsim z}$, mit der aus der Transitivität von ${displaystyle sim}$ ableiten ist das ${displaystyle ysim z}$. Eigenschaft 2 ergibt dann das ${Anzeigestil [y]=[z]}$.

Eigenschaft 4

Für alle ${Anzeigestil x,yin x}$ gilt als ${Anzeigestil x}$ und ${Anzeigestil y}$ in der gleichen Äquivalenzklasse sein, stand ${Anzeigestil x}$ und ${Anzeigestil y}$ in einander ${displaystyle sim}$Beziehung.

Beweise

Sie ${Anzeigestil x,yin x}$ und beide ${displaystyle xin[u]}$ wenn ${displaystyle yin[u]}$ für eine gewisse ${displaystyle uin X}$. Aus der Definition von Äquivalenzklasse folgt das ${displaystyle usim x}$ und ${displaystyle usim y}$. Aus der Symmetrie von ${displaystyle sim}$ folgt dem auch ${displaystyle xsim u}$, und aus der Transitivität von ${displaystyle sim}$ dann stellt sich heraus, dass ${Anzeigestil xsim y}$. Ebenso kann darauf hingewiesen werden, dass ${displaystyle ysim x}$.

Folge 1

jeder ${displaystyle xinX}$ ist in genau einer Äquivalenzklasse von ${Anzeigestil X}$.

Beweise

Dies folgt direkt aus den Eigenschaften 1 und 3.

Folge 2

Für alle ${Anzeigestil x,yin x}$ gilt: ${Anzeigestil xsim y}$, dann und nur dann, wenn ${Anzeigestil x}$ und ${Anzeigestil y}$ sind in der gleichen Äquivalenzklasse.

Beweise

Dies folgt direkt aus den Eigenschaften 2 und 4.

Quotientensammlung

wenn ${displaystyle sim}$ eine Äquivalenzrelation auf ${Anzeigestil X}$ ist, dann heißt die Menge aller Äquivalenzklassen von heet ${Anzeigestil X}$

${displaystyle X/sim ={[x]mid xin X}}$

das Quotientenmenge von ${Anzeigestil X}$ unten ${displaystyle sim}$.

Im Folgenden werden eine Reihe von Eigenschaften von Quotientenmengen bewiesen.

Eigenschaft 1

Die Quotientenmenge ${displaystyle X/sim }$ einer Äquivalenzrelation ${displaystyle sim}$ auf einer Sammlung ${Anzeigestil X}$ ist ein Partition von ${Anzeigestil X.}$

Beweise

Sie ${displaystyle sim}$ eine Äquivalenzrelation auf ${Anzeigestil X}$. Aus Konsequenz 1 im Abschnitt über Äquivalenzklassen folgt, dass jede ${displaystyle xinX}$ in genau einer Äquivalenzklasse von ${Anzeigestil X}$ Sitzung. Nach Definition der Quotientenmenge umfasst dies alle Äquivalenzklassen von ${Anzeigestil X}$ im ${displaystyle X/sim }$ und hat ${displaystyle X/sim }$ keine anderen Elemente. Dann folgt, dass jeder ${displaystyle xinX}$ in genau einem Element von ${displaystyle X/sim }$ Sitzung. Aus der Definition der Äquivalenzklasse folgt weiter, dass es keine Elemente gibt ${displaystyle uotin X}$ in jeder Äquivalenzklasse von ${Anzeigestil X}$ sitzen, was zusammen mit dem Vorstehenden beweist, dass die dat da Verband aller Elemente von ${displaystyle X/sim }$ gleicht ${Anzeigestil X}$ ist. Das leere Sammlung, schließlich ist kein Element der Quotientenmenge. Schließlich gibt es in der Quotientenmenge nur Äquivalenzklassen und aus Eigenschaft 1 von Äquivalenzklassen folgt, dass sie immer mindestens ein Element haben.

Eigenschaft 2

Jede Äquivalenzrelation auf ${Anzeigestil X}$ gibt eine eindeutige Quotientenmenge zurück. Mit anderen Worten, es gibt keine zwei verschiedenen Äquivalenzrelationen auf ${Anzeigestil X}$ die die gleiche Quotientenmenge von hat ${Anzeigestil X}$ Ausbeute.

Beweise

Sie ${Anzeigestil R}$ und ${Anzeigestil S}$ zwei Äquivalenzrelationen auf ${Anzeigestil X}$ auf was trifft das zu ${Anzeigestil X/R=X/S}$. Für zwei beliebige Elemente ${Anzeigestil x,yin x}$ folgt in zwei Schritten, dass ${displaystyle xRy}$ dann und nur dann, wenn ${displaystyle xSy}$. Nehmen wir zunächst an, dass ${displaystyle xRy}$. Aus Eigenschaft 2 der Äquivalenzklassen ergibt sich, dass ${Anzeigestil x}$ und ${Anzeigestil y}$ in der gleichen Äquivalenzklasse ${displaystyle Kin X/R}$ sitzen. weil ${Anzeigestil X/R=X/S}$ ist ${displaystyle Kin X/S}$, was bedeutet ${Anzeigestil x}$ und ${Anzeigestil y}$ auch unter ${Anzeigestil S}$ sind in der gleichen Äquivalenzklasse. Daraus folgt mit Eigenschaft 4 der Äquivalenzklassen, dass ${displaystyle xSy}$. Zweitens lässt sich auf die gleiche Weise beweisen, dass aus ${displaystyle xSy}$ folgt das ${displaystyle xRy}$. Diese beiden Schritte zeigen, dass ${displaystyle xRy}$ dann und nur dann, wenn ${displaystyle xSy}$. Es folgt dem ${Anzeigestil R=S}$, was beweist, dass wenn ${Anzeigestil R}$ und ${Anzeigestil S}$ die gleiche Quotientenmenge haben, sind sie die gleiche Äquivalenzrelation.

Hauptposition

Es gibt eine tiefe Ähnlichkeit zwischen Äquivalenzrelationen auf und Partitionen einer Sammlung. Diese Beziehung wird durch den fundamentalen Satz der Äquivalenzrelationen ausgedrückt.

Für eine gegebene Partition ${Anzeigestil P}$ einer Sammlung ${Anzeigestil X}$ ist die beziehung ${displaystyle sim_{P}}$ auf ${Anzeigestil X}$, definiert durch die Forderung, dass für alle ${Anzeigestil x,yin x}$:

${displaystyle xsim_{P}y}$ dann und nur dann, wenn es a ${displaystyle Kin P}$ Wofür ${Anzeigestil xin K}$ und ${Anzeigestil Yin K}$,

eine Äquivalenzrelation.

Hilfsstellung 1

Für jede Partition ${Anzeigestil P}$ von ${Anzeigestil X}$ ist ${displaystyle sim_{P}}$ eine Äquivalenzrelation auf ${Anzeigestil X}$.

Beweise

Sie ${Anzeigestil P}$ eine Teilung von ${Anzeigestil X}$. Wir beweisen das ${displaystyle sim_{P}}$ ist reflexiv, symmetrisch und transitiv. Sie ${Anzeigestil x,y,Satz X}$. Reflexivität und Symmetrie folgen direkt aus der Definition von ${displaystyle sim_{P}}$. Um die Transitivität zu beweisen, nehmen Sie an, dass ${displaystyle xsim_{P}y}$ und ${displaystyle ysim_{P}z}$. Das heißt, es gibt ein ${displaystyle Kin P}$ ist so dass ${Anzeigestil x,yin K}$ und ein ${Anzeigestil Lin P}$ so dass ${displaystyle y, Satz L}$. Da die Klassen einer Partition zusammenhangslos sein und ${Anzeigestil y}$ sowohl ${Anzeigestil K}$ wenn ${Anzeigestil L}$ sitzt, folgt dem ${Anzeigestil K=L}$. Es folgt per Definition von ${displaystyle sim_{P}}$ Welche ${displaystyle xsim_{P}z}$.

Hilfsstellung 2

Gegeben eine Partition ${Anzeigestil P}$ von ${Anzeigestil X}$ gilt für alle ${displaystyle Kin P}$: wenn ${Anzeigestil xin K}$, ist ${Anzeigestil K}$ die Äquivalenzklasse von ${Anzeigestil x}$ unten ${displaystyle sim_{P}}$.

Beweise

Sie ${Anzeigestil P}$ eine Teilung von ${Anzeigestil X}$ und ${displaystyle Kin P}$. Annehmen, dass ${Anzeigestil xin K}$. weil ${Anzeigestil P}$ ist eine Partition, es gibt keine andere Klasse ${Anzeigestil Lin P}$ und ${Anzeigestil Leq K}$ wahr ${Anzeigestil X}$ Sitzung. Per Definition von ${displaystyle sim_{P}}$ daher folgt das für alle ${Anzeigestil Yin X}$ gilt:

${displaystyle xsim_{P}y}$ dann und nur dann, wenn ${Anzeigestil Yin K}$.

Das bedeutet, dass

${displaystyle K={yin Xmid xsim _{P}y}}$

und damit ${Anzeigestil K=[x]}$.

Satz 3

Beliebige Partition ${Anzeigestil P}$ einer Sammlung ${Anzeigestil X}$ ist die Quotientenmenge einer Äquivalenzrelation auf ${Anzeigestil X}$, nämlich von ${displaystyle sim_{P}}$.

Beweise

Sie ${Anzeigestil P}$ eine Teilung von ${Anzeigestil X}$. Aus Auxiliar 1 folgt ${displaystyle sim_{P}}$ ist eine Äquivalenzrelation. Wir beweisen in zwei Schritten, dass ${displaystyle X/sim _{P}=P}$. Nehmen Sie zuerst eine zufällige ${displaystyle Kin P}$. weil ${Anzeigestil P}$ ist eine Partition, es gibt a ${Anzeigestil xin K}$. Aus Hilfsstoffen 2 folgt, dass ${Anzeigestil K=[x]}$, was beweist das? ${displaystyle Kin X/sim _{P}}$ und damit ${displaystyle Psubseteq X/sim _{P}}$. Zweitens, nimm eine zufällige ${displaystyle [x]in X/sim _{P}}$. weil ${Anzeigestil P}$ eine Partition ist, folgt daraus, dass es genau eine gibt ${displaystyle Kin P}$ ist was das hält ${Anzeigestil xin K}$. Aus Hilfe 2 folgt dann, dass ${Anzeigestil K=[x]}$, und damit ${displaystyle [x]in P}$. Dies bedeutet, dass ${displaystyle X/sim _{P}subseteq P}$, was beweist, dass ${displaystyle X/sim _{P}=P}$.

Hauptsatz der Äquivalenzrelationen

Da ist ein Eins-zu-eins-Korrespondenz zwischen allen Äquivalenzrelationen auf einer Menge ${Anzeigestil X}$ und alle Partitionen derselben Sammlung ${Anzeigestil X}$.

Beweise

Eine Sammlung gegeben ${Anzeigestil X}$, spät ${Anzeigestil A}$ sei die Menge aller Äquivalenzrelationen auf ${Anzeigestil X}$ und ${Anzeigestil B}$ die Menge aller Partitionen von ${Anzeigestil X}$. Wir beweisen, dass die Bild

${Displaystil Alpha: A oder B}$

${displaystyle alpha :Rmapsto X/R}$

eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz zwischen ${Anzeigestil A}$ und ${Anzeigestil B}$ ist. Aus Eigenschaft 1 im Abschnitt über Quotientenmengen folgt ${displaystyle alpha }$ alle Äquivalenzrelationen in ${Anzeigestil A}$ auf einer Partition in ${Anzeigestil B}$ schildert. Mit anderen Worten: ${displaystyle alpha }$ ist ein Vollbild. Aus Eigenschaft 2 im selben Absatz folgt, dass ${displaystyle alpha }$injektiv ist. Satz 3 beweist, dass für jede Partition ${Displaystil-Pin B}$ eine Äquivalenzrelation ${Displaystil Rin A}$ ist so dass ${Anzeigestil Alpha(R)=P}$, oder das ${displaystyle alpha }$surjektiv ist. Dies beweist, dass ${displaystyle alpha }$ ist eine Eins-zu-eins-Korrespondenz.

Konstruierte Äquivalenzrelationen

Das Überschneidung einer Familie von Äquivalenzrelationen auf derselben Menge, ist wieder eine Äquivalenzrelation. Als Ergebnis existiert für jede Relation eine eindeutige Relation der kleinsten Äquivalenz, die die gegebene Relation umfasst.