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Graph der Fehlerfunktion

Das Fehlerfunktion ist ein Spezialfunktion in dem Mathematik, die wichtige Anwendungen innerhalb der Wahrscheinlichkeit und der Physik. Die Funktion ist definiert als:

${displaystyle {mbox{erf}}(x)={frac {2}{sqrt {pi}}}int _{0}^{x}e^{-t^{2}},mathrm {d} t}$.

Die Fehlerfunktion ist eine antisymmetrische Funktion:

${displaystyle {mbox{erf}}(-x)=-{mbox{erf}}(x);}$.

Darüber hinaus gilt: ${displaystyle {mbox{erf}}(0)=0;}$ und ${displaystyle limlimits _{xightarrow infty }{mbox{erf}}(x)=1}$.

Die Fehlerfunktion kann durch die folgende Sequenz dargestellt werden:

${displaystyle {mbox{erf}}(x)={frac {2}{sqrt {pi}}}sum _{n=0}^{ infty }{frac {(-1)^{n}x^{2n 1}}{n!(2n 1)}}}$

Das generalisierte Fehlerfunktion wird gegeben von:

${displaystyle {mbox{erf}}(x,y)={frac {2}{sqrt {pi}}}int _{x}^{y}e^{-t^{2}},mathrm {d} t}$.

Das komplementäre Fehlerfunktion wird gegeben von:

${displaystyle {mbox{erf}}(x)=1-{mbox{erf}}(x);}$.

Das imaginäre Fehlerfunktion wird gegeben von:

${displaystyle {mbox{erfi}}(x)=-i{mbox{erf}}(icdot {x})}$

Verhältnis zur Normalverteilung

Die Fehlerfunktion steht in direktem Zusammenhang mit der Verteilungsfunktion ${Anzeigestil Phi}$ des Standards Normalverteilung.

${displaystyle Phi (x)={frac {1}{2}}left(1 Operatorname {erf} left({frac {x}{sqrt {2}}}ight)ight)}$