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Normalverteilung
Zufallsdichte Die grüne Kurve zeigt die Standardnormalverteilung
Verteilungsfunktion Farben entsprechen den obigen Wahrscheinlichkeitsdichten
Parameter	${Anzeigestil mu}$Ort (Real) ${Displaystil-Sigma ^{2}>0}$ kariert Rahmen (Real)
Träger	${ Anzeigestil xin (-infty ; infty )}$
Zufallsdichte	${displaystyle {frac {1}{sigma {sqrt {2pi }}}};exp left(-{frac {left(x-mu ight)^{2}}{2sigma ^{2}}}ight)}$
Verteilungsfunktion	${displaystyle {frac {1}{2}}left(1 Mathrm {erf} ,{frac {x-mu }{sigma {sqrt {2}}}}ight)}$
Erwartungswert	${Anzeigestil mu}$
Median	${Anzeigestil mu}$
Modus	${Anzeigestil mu}$
Abweichung	${Displaystil-Sigma ^{2}}$
verzerren	0
Kurtose	0
Entropie	${displaystyle ln left(sigma {sqrt {2,pi,e}}ight)}$
momentan Erzeugungsfunktion	${displaystyle M_{X}(t)=exp left(mu ,t {frac {sigma ^{2}t^{2}}{2}}ight)}$
Charakteristische Funktion	${displaystyle varphi _{X}(t)=exp left(mu ,i,t-{frac {sigma ^{2}t^{2}}{2}}ight)}$
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Das Normalverteilung oder Gauss-Verteilung (benannt nach dem DeutscheMathematikerCarl Friedrich Gauß) ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung mit zwei Parametern, die erwarteter Wert${Anzeigestil mu}$ und der Standardabweichung${Displaystil-Sigma}$, von denen die Wahrscheinlichkeitsdichte wird durch folgendes gegeben Gaußsche Funktion:

${displaystyle f(x)={frac {1}{sigma {sqrt {2pi }}}},e^{-{frac {1}{2}}left({frac {x-mu }{sigma }}ight )^{2}}}$

Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist symmetrisch rund ${Anzeigestil mu}$, hoch in der Mitte, und wird zu niedrigen und hohen Werten immer kleiner, ohne jemals wirklich Null zu erreichen. Aufgrund seiner Form wird es auch Glockenkurve oder Gauss-Kurve erwähnt.

Die Normalverteilung wird geschrieben als ${Anzeigestil N(mu, Sigma ^{2})}$Verteilung, was bedeutet, dass es sich um eine Normalverteilung mit erwarteter Wert${Anzeigestil mu}$ und Standardabweichung${Displaystil-Sigma}$.

Wie für jede Wahrscheinlichkeitsdichte gilt die Integral- über den gesamten Definitionsbereich genau gleich 1:

${displaystyle int limit _{-infty }^{ infty }{frac {1}{sigma {sqrt {2pi }}}},e^{-{frac {1}{2}}left({frac {x-mu }{sigma }}ight)^{2}}{m {d}}x=1}$.

Viele Phänomene lassen sich näherungsweise mit einer Normalverteilung beschreiben. Dies sind Phänomene, deren Verteilung symmetrisch um einen Zentralwert konzentriert ist und Abweichungen von diesem Zentralwert mit zunehmender Abweichung immer unwahrscheinlicher werden. Manchmal ist das Phänomen die Summe einer Vielzahl von Effekten, die sich nicht gegenseitig beeinflussen. Das zentraler Grenzwertsatz gibt in einem solchen Fall die Bedingungen an, unter denen der Gesamtbetrag normal verteilt wird. Die Normalverteilung ist nicht immer eine gute Näherung. Andere Verteilungen sind beispielsweise besser, wenn es exponentielles Wachstum, wie es unter anderem bei Einkommen, Preise und Population wo gibt es a verzerren Nach rechts. Distributionen wie die Lognormalverteilung oder der Pareto-Verteilung eine bessere Annäherung liefern kann.

Standardnormalverteilung

Eine Normalverteilung mit Erwartungswert 0 und Varianz 1, de ${Anzeigestil N(0.1)}$Verteilung, wird a Standardnormalverteilung erwähnt. Die entsprechende Dichte ist:

${displaystyle varphi (x)={frac {1}{sqrt {2pi }}},e^{-{frac {1}{2}}x^{2}}}$

Siehe auch: Z-Werte.

Eigenschaften

Lineare Transformation

Als die zufällige Variable${Anzeigestil X}$${Anzeigestil N(mu, Sigma ^{2})}$-verteilt, gilt für beliebige ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$:

${displaystyle aX bsim Nleft(amu b,,a^{2}sigma ^{2}ight)}$.

Ein spezifisches Ergebnis dieser Eigenschaft ist, dass

${displaystyle Z={frac {X-mu }{sigma }}sim N(0,1)}$,

also ist es Standard normal.

Lineare Kombination

Sind zwei Zufallsvariablen ${Anzeigestil X}$ und ${Anzeigestil Y}$ normalverteilt und unkorreliert mit entsprechenden Parametern ${displaystyle mu_{X}}$ und ${displaystyle sigma _{X}^{2}}$ und ${displaystyle mu_{Y}}$ und ${displaystyle sigma _{Y}^{2}}$, dann gilt:

${displaystyle X Ysim N(mu _{X} mu _{Y}, Sigma _{X}^{2} Sigma _{Y}^{2})}$

${displaystyle X-Ysim N(mu _{X}-mu _{Y}, Sigma _{X}^{2} Sigma _{Y}^{2})}$

Im Allgemeinen gilt für unkorrelierte normalverteilte Variablen ${displaystyle X_{1},X_{2},ldots ,X_{n}}$, mit ${displaystyle mathrm {E} X_{i}=mu_{i}}$ und ${displaystyle mathrm {var} (X_{i})=sigma_{i}^{2}}$, dass jede Linearkombination dieser ebenfalls normalverteilt ist.

Für beliebige reelle Zahlen ${displaystyle a_{1},a_{2},ldots ,a_{n}}$ zählt das

${displaystyle sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}sim Nleft(sum _{i=1}^{n}a_{i}mu _{i},sum _{i= 1}^{n}(a_{i}sigma _{i})^{2}ight)}$.

Faustregel

Zusammenhang zwischen Abweichungen vom Zentrum und der Standardabweichung

Innerhalb einer Standardabweichung des Erwartungswertes liegen ca. 68 % der Fläche unter dem Graphen der Wahrscheinlichkeitsdichte der Normalverteilung, ca. 95 % innerhalb zweier Standardabweichungen des Erwartungswertes. Die Kurve geht dann ziemlich schnell auf Null: Etwa 99,99% der Oberfläche liegen innerhalb von vier Standardabweichungen vom Zentrum. Somit sind Abweichungen von mehr als vier Standardabweichungen vom Zentrum sehr selten.

Aussehen

Für viele natürlich vorkommende Phänomene ist eine Normalverteilung gut Ansatz des Frequenz bei denen bestimmte Messwerte auftreten können; daher wird für die zugrunde liegende (Bevölkerungs-)Verteilung häufig eine Normalverteilung angenommen. Die Parameter ${Anzeigestil mu}$ und ${Displaystil-Sigma ^{2}}$ dieser Normalverteilung kann dann angenähert (geschätzt) werden mit Stichprobenmittelwert${displaystyle {ar {x}}}$ und die Stichprobenvarianz ${displaystyle s^{2}}$. Auf diese Weise kann man die durchschnittliche Körpergröße niederländischer Männer und die Standardabweichung der Verteilung, indem eine Stichprobe von hundert Männern genommen und deren Körpergröße gemessen wurde. Die Mathematik sagt auch, wie genau in einem solchen Fall ${displaystyle {ar {x}}}$ ein Ansatz ist für ${Anzeigestil mu}$, und wie genau ${displaystyle s^{2}}$ ein Ansatz ist für ${Displaystil-Sigma ^{2}}$.

Andere Beispiele für Größen, die als normalverteilt angesehen werden können, sind:

• das maximale Temperatur am 5. August in De Bilt, gemessen über mehrere Jahre
• die Abweichung von Uhren einer bestimmten Marke in Sekunden pro Tag
• das Intelligenz einer großen Gruppe von gleichaltrigen Probanden

Bei medizinischen Laboruntersuchungen wird oft davon ausgegangen, dass die bei gesunden Probanden gefundenen Werte eine Normalverteilung aufweisen. Die Werte im Abstand der doppelten Standardabweichung vom Zentrum werden dann als „normal“ bezeichnet. Nach dieser Definition findet man bei 5 % der Gesunden einen abnormen Wert.

Normaler Ansatz

Normalverteilung (blau), Näherung einer Binomialverteilung

In vielen Fällen kann eine Verteilung durch eine entsprechend gewählte Normalverteilung angenähert werden. Insbesondere in den Fällen, in denen die zentraler Grenzwertsatz ist praktisch anwendbar. Also kann a Binomialverteilung mit Parametern ${displaystyle n}$ und ${displaystyle p}$, für größere Werte von ${displaystyle n}$ und Mittelwerte für ${displaystyle p}$, werden durch eine Normalverteilung mit dem gleichen Erwartungswert und der gleichen Varianz wie das Binomial angenähert, d ${Anzeigestil N(np,np(1-p))}$Verteilung. In der Abbildung ist dies skizziert für ${Anzeigestil n=48}$ und ${Anzeigestil p=0{,}25}$. wenn ${Anzeigestil X}$ eine stochastische Variable mit der erwähnten Binomialverteilung ist, können wir ${Anzeigestil X}$ praktisch wie ${Anzeigestil N(12.9)}$-betrachte geteilt. Dann ist:

${Anzeigestil P(Xleq 15)ungefähr P(Yleq 15)=P(Zleq { frac {15-12}{3}})=Phi (1)=0{,}8415}$.

Darin ist ${Anzeigestil Y}$${Anzeigestil N(12.9)}$-geteilt, ${Anzeigestil Z}$ Standard normal und ${Anzeigestil Phi}$ die Standardnormalverteilungsfunktion.

Kontinuitätskorrektur

Die Näherung ist besser als die sogenannte so Durchgangskorrektur wird angewandt. Dies basiert auf der Erkenntnis, dass ${Anzeigestil P(Xleq 15)=P(X<16)}$, aber die entsprechenden Ansätze ${Anzeigestil P(Yleq 15)}$ und ${Anzeigestil P(Y<16)}$ etwas anders. Als bessere Näherung nimmt man: ${displaystyle P(Yleq 15 { frac {1}{2}})}$.

Bivariate Normalverteilung

Die eindimensionale Normalverteilung hat Äquivalente in mehreren Dimensionen; diese werden als multivariate Normalverteilungen bezeichnet. Die bivariate (d. h. zweidimensionale) Normalverteilung wird durch fünf Parameter bestimmt: ${displaystyle mu ,sigma ^{2},u , au ^{2}}$ und ${Anzeigestil ho}$, die jeweils den Erwartungswert und die Standardabweichung in der ersten und zweiten Dimension und die en Korrelationskoeffizient zwischen den beiden Dimensionen. Dazu wird vermerkt: ${displaystyle N(mu ,sigma ^{2},u , au ^{2},ho )}$Verteilung. Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist:

${displaystyle f(x,y)={frac {1}{2pi sigma au {sqrt {1-ho ^{2}}}}}exp left(-{frac {1}{2(1-ho ^{2 })}}left(left({x-mu over sigma}ight)^{2}-2ho left({x-mu over sigma}ight)left({yu over au}ight) left({yu over au } ight)^{2}ight)ight)}$.

Die Struktur der Formel ist für die leichter zu erkennen ${Anzeigestil N(0,1,0,1,ho)}$Verteilung. Dann ist die Wahrscheinlichkeitsdichte:

${displaystyle f(x,y)={frac {1}{2pi {sqrt {1-ho ^{2}}}}}exp left(-{x^{2}-2ho xy y^{2} über 2 (1-ho ^{2})}Nacht)}$.

Siehe auch multivariate Normalverteilung.

Siehe auch

• Papier zur normalen Wahrscheinlichkeit

Andere Distributionen

• Die Normalverteilung ist keine gute Beschreibung für eine Population, die aus verschiedenen Subpopulationen besteht, was manchmal zu a . führt mehrköpfig Verteilung entsteht.
• Die Normalverteilung ist auch keine gute Beschreibung für Verteilungen, bei denen eine kleine Anzahl von sehr großen Abweichungen möglich ist. Man spricht dann von fette Schwänze. In diesem Fall manchmal die t-Verteilung verwendet werden.
• Wenn die Variable ${Anzeigestil X}$ ist normalverteilt, hat ${displaystyle Y=e^{X}}$ ein Lognormalverteilung.

Externer Link

• Online-Rechner Normalverteilung

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