WikiDer > Ex falso sequitur quod libet

Ex falso sequitur quod libet ("alles folgt aus Inkongruenz") ist a Beweislinie von dem Logik.

Es unpassend ist eine widersprüchliche Aussage oder eine Reihe von Aussagen, die gemeinsam widersprüchlich sind, zum Beispiel: „Die Niederlande sind eine Republik (P) und die Niederlande sind keine Republik (¬P)“. Wenn P und ¬P beide wahr sind, entsteht ein Widerspruch (Widerspruch), die laut ex falso...quod libet jede Aussage gültig macht (quod libet). Dies ist keine Frage der sachlichen Ungenauigkeit, ob die Niederlande eine Republik sind oder nicht, es spielt keine Rolle, sondern die Unmöglichkeit, diesen Satz, P & ¬P, wahr zu machen.

Ex falso.... quod libet wird oft wiedergegeben als:

¬P → (P → Q)

Dies kann wie folgt gelesen werden: Wenn P falsch ist, dann kann von P alles Q (quod libet) abgeleitet werden.

Ein anderer Begriff für diese Argumentationsform ist ex widerspruche sequitur quod libet ("Alles folgt aus einem Widerspruch"). Dies wird oft angezeigt als:

P & ¬P → Q

In dem klassische Logik, aber auch im Intuitionistische Logik, beide Formeln sind voneinander ableitbar und daher äquivalent.

Historische Entwicklung

Aus dem, was von der überliefert wurde Antike (Aristoteles, das Stoiker) kann nicht der Schluss gezogen werden, dass diese Regel damals anerkannt wurde. Zum Beispiel in den Dialogen von Plato Widersprüche in der Argumentation als Grund für die Ablehnung dieser Argumente, aber das ex falso...quod libet wurde nicht als Grund für die Ablehnung angeführt. Der erste, der diese Regel formuliert und verteidigt hat, war, soweit wir wissen, im 12. Jahrhundert Wilhelm von Soissons.^[1][2] In neueren Logiksystemen wie dem Aussagelogik und der Prädikatslogik diese Regel wird immer noch übernommen, obwohl es andere Denkschulen gibt, die die Gültigkeit lehnen diese Beweisregel ab: zum Beispiel die parakonsistente Logik.

Inhaltserklärung

Clarence Irving Lewis hat eine mathematische Rekonstruktion des "Beweises" von Willem van Soissons für ex falso gemacht...Quod libet.

Diese wird wie folgt gekürzt (erweiterte Version unter Wilhelm von Soissons):^[3]

(1) Es gibt einen Widerspruch P & ¬P, aus dem P
(2) Aus P folgt (P v Q)
(3) Aus P & ¬P folgt (P v Q) & ¬P
(4) Out (P v Q) & ¬P folgt (P & ¬P) v (Q & ¬P)
Nun verfällt der erste Term (P & ¬P), da dies ein Widerspruch ist. Da dies als falsch angesehen wird, ist der zweite Term (Q & ¬P) notwendigerweise wahr.
(5) Aus (Q & ¬P) folgt Q
Denn Q beinhaltet ¬P.
(6) Aus P & ¬P folgt Q
Siehe (3), (4) und (5).

Sowohl Willem van Soissons als auch Clarence Irving Lewis bestreiten die „Beweise“. Dies war bereits im 15. Jahrhundert bei Willem van Soissons der Fall. ^[4] Der neuere Beweis von Clarence Irving Lewis geht so. Er muss erst den Widerspruch (siehe (4) oben) zurückweisen, bevor er Q oder "ex falso sequitur quod libet" beweisen kann. ^[5]. Sein „Beweis“ wird damit von der Unwahrheit des Widerspruchs (P & ¬P) abhängig.

Schließlich kann gesagt werden, dass die obige Widerlegung nicht bedeutet, dass "ex falso sequitur quod libet" falsch ist. Es bedeutet nur, dass dieser einflussreiche Beweis seine Wahrheit nicht beweisen konnte.