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Intuïtionisme

Es Intuitionismus ist ein Fundamentstrom in dem Mathematik die um 1900 entstanden und von denen die niederländischen Mathematiker L.E.J. Brauer und Arend Heyting waren wichtige Vertreter.

Intuitionistische Prinzipien

Das Grundprinzip des Intuitionismus ist die menschliche Zeiterfahrung. Daraus folgt unter anderem, dass mathematische Objekte werden im Laufe der Zeit (im menschlichen Geist) konstruiert. Zeit wird als schrittweiser Prozess betrachtet: 0, 1, 2, ... und so weiter. Die natürlichen Zahlen (0, 1, 2, ...) können auf diese Weise im Hinterkopf konstruiert werden. Auch der Sammlung der natürlichen Zahlen gebaut werden kann, aber der Bau ist nie fertig. Diese Ansicht von potenziell unendlich steht im Gegensatz zum klassischen Konzept der Unendlichkeit. In der klassischen Mathematik wird angenommen, dass unendliche Mengen wie sets kann sofort überprüft werden.

Im Intuitionismus existieren mathematische Objekte nur, wenn sie im Laufe der Zeit konstruiert werden können, und der einzige gültige Existenzbeweis ist ein Rezept für eine solche Konstruktion. Das heißt, der Intuitionismus lehnt die Methode des Beweises ab Beweis durch Widerspruch: wenn angenommen wird, dass etwas nicht existiert und daraus einen Widerspruch ableitet, gilt das nicht als Beweis dafür, dass es existiert. Schließlich folgt aus dem Widerspruch kein Rezept für das Bauen.

Ein gutes Beispiel dafür ist Brouwers berühmtes Fixpunktsatz vom Klassiker Topologie. Es kann bewiesen werden, dass es unter den Bedingungen des Satzes unmöglich ist, immer eine Fixpunktkonstruktion zu liefern. Dies macht den Fixpunktsatz von Brouwer intuitiv nicht beweisbar. Brouwer lieferte intuitionistische Alternativen zu seinem klassischen Theorem.

Intuitionistische formale Logik

In der Intuitionistischen formale Logik, was im Gegensatz zu den klassische Logik, ist daher die Regel der ausgeschlossene Dritte (für jede Aussage p gilt: p ist wahr ODER 'nicht p ' ist wahr) ist nicht gültig. Diese Regel, die seit der Antike in der Mathematik angewendet wird, wurde von Brouwer bestritten. Die erste Formalisierung des Intuitionismus wurde in 1928 durch Arend Heyting. Brouwer selbst war nicht beeindruckt; er nannte Heytings Arbeit eine unfruchtbare Übung.[1]

Intuitionistische formale Logik wird häufig in der Informatik. Einer der Gründe dafür ist, dass algorithmische Berechenbarkeit mathematischer Entitäten ist mit einem Existenzbeweis in der intuitionistischen Logik verbunden. Ein weiterer Grund ist, dass der Korrektheitsnachweis von Algorithmen einfacher ist über Intuitionistische Logik.

Konstruktive Mathematik

Es scheint möglich zu sein, ausgehend von der intuitionistischen the eine vollwertige Mathematik aufzubauen Axiome. Der einzig intuitive Axiom das nicht der klassischen Mathematik entspricht, ist die sogenannte Kontinuitätsprinzip (CP).

Aufgrund des Vormarsches der Computer ist das interesse an konstruktive Mathematik (der vor allem Intuitionismus zugeschrieben wird) hat in den letzten Jahrzehnten stark zugenommen. Das Interesse an der prinzipiellen Berechenbarkeit mathematischer Einheiten ist größer und die konstruktive Mathematik bietet hierfür einen geeigneten Rahmen.

Ein Großteil der klassischen Mathematik ist nicht-konstruktiv. Manchmal ist dies unerlässlich, etwa wenn die fragliche Aussage intuitiv falsch ist, manchmal ist eine konstruktive Umformulierung der fraglichen Aussage möglich.

Siehe auch

Externe Links

  • Biografie van Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966) über die Entstehung seines Intuitionismus und die Revolution in den Grundlagen der Mathematik.