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In dem Funktionsanalyse, Teil von dem Mathematik, ist ein F-Raum ein topologischer Vektorraum auf denen unter anderem die Bildregal öffnen gilt für. F-Räume sind Verallgemeinerungen von Frechet-Zimmer.

Definition

Ein F-Raum ist ein topologischer Vektorraum, dessen Topologie aus einer Translationsinvariante metrisch und diese (wenn metrischer Raum) völlig ist.^[1]

Eine Metrik ${displaystyle d:XimesXo mathbb {R} ^{ }}$ heiß Übersetzungsinvariante wenn der Abstand zwischen zwei beliebigen Punkten unverändert bleibt, wenn die beiden Punkte um denselben Vektor verschoben werden. Also für alle ${Anzeigestil x,y,Satz X}$

${Anzeigestil d(x,y)=d(xz,yz)}$

Diese Definition verallgemeinert die eines Fréchet-Raumes, denn no lokale Konvexität mehr ist gefragt. Diese Terminologie ist nicht universell: Einige Autoren verlangen keine lokale Konvexität in Fréchet-Räumen, und andere schließen lokale Konvexität in die Definition eines F-Raums ein.^[2]

Beispiele

Dieses zweidimensionale Modell gibt eine Vorstellung davon, warum das unendlich-dimensionale ${displaystyle L^{p}}$ vor dem ${Anzeigestil 0$ nicht lokal konvex sein. Die Einheitskugel in ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$ für die Remote-Funktion ${displaystyle d(x,y)=(x_{1}-x_{2})^{2/3} (y_{1}-y_{2})^{2/3}}$ ist eine nichtkonvexe Figur, die durch a . abgegrenzt wird Asteroid

Alle Fréchet-Räume und damit insbesondere alle banach räume, sind F-Räume.

Beispiele für F-Räume, die nicht lokal konvex sind, liefert die ${displaystyle L^{p}}$-Räume von messbaren (reellen oder komplexwertigen) Funktionsklassen auf dem Intervall ${displaystyle[0,1]}$ für gegeben fest ${displaystyle p}$ mit ${Anzeigestil 0$.

Die Funktion

${displaystyle d(f,g)=int _{0}^{1}|f(x)-g(x)|^{p},mathrm {d} x}$

ist eine translationsinvariante Metrik auf ${displaystyle L^{p}}$, und ${Anzeigestil (L^{p},d)}$ ist ein vollständiger metrischer Raum, aber dieser Raum hat keine konvexen offenen Teilmengen außer der leeren Menge und dem Raum selbst.^[3]