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Topologische Vektorräume sind das zentrale Studienobjekt eines Zweiges der Mathematik Das Funktionsanalyse heiß.^[1]

Definition

Ein topologischer Vektorraum ist a Vektorraum über einen topologischer Körper${displaystyle mathbb {K} }$ (in der Regel ${displaystyle mathbb {K} }$ der Körper (in Belgien: Körper) der reellen oder komplexen Zahlen), versehen mit a Topologie die mit den üblichen Vektoroperationen kompatibel ist; das heißt, die Addition von Vektoren

${displaystyle :Vimes V o V:(v,w)mapsto v w}$

und der Skalarmultiplikation eines Vektors mit einer Zahl

${displaystyle cdot :mathbb {K} imes V o V:(alpha ,v)mapsto alpha v}$

kontinuierliche Bilder sein.

Hiermit die Produktbereiche ausgestattet mit dem Produkttopologie.

Im Rest dieses Artikels gehen wir davon aus, dass Vektorräume immer über dem Skalarkörper der reellen oder komplexen Zahlen definiert sind. Wenn wir in Beispielen von Zahlen, Zeilen oder Funktionen nicht explizit angeben, ob sie reell sind oder Komplex das bedeutet, dass beide Varianten möglich sind.

Die Klasse der topologischen Vektorräume ist eigentlich zu "groß", um eine schöne Theorie darüber aufzustellen. Daher wird bei der Definition topologischer Vektorräume oft davon ausgegangen, dass die Topologie-Onologie V entspricht der HausdorffEigentum (siehe auch zie Trennungsaxiom) Oft beschränkt man sich auch auf eine spezielle Art von topologischen Vektorräumen, in denen es a Base des Topologie ist, bestehend aus konvexe Sammlungen

Um genaue Aussagen über die Konvergenz von Funktionen treffen zu können, wurden zunächst Klassen topologischer Vektorräume geschaffen. Die meisten "natürlichen" Funktionsmengen kann man sich als topologische Vektorräume vorstellen. Der Begriff Verteilung, erfunden von Paul Dirac und formalisiert von Laurent Schwartz, ergibt einen topologischen Vektorraum mit no Funktionsraum ist (deren Vektoren keine gewöhnlichen Funktionen sind).

Normen und Metriken

Sie ${Anzeigestil ||.||}$ ein Norm auf einem Vektorraum ${Anzeigestil V}$. Die Distanz ${Anzeigestil ||x-y||}$ zwischen zwei Vektoren ${Anzeigestil x}$ und ${Anzeigestil y}$ bestimmt a metrisch und damit eine Topologie auf ${Anzeigestil V}$. Aus der Definition einer Norm folgt, dass die Vektoroperationen mit dieser Topologie kompatibel sind. Außerdem, a metrischer Raum immer ein Hausdorff-Raum. Normalisierte Vektorräume sind also natürlich topologische Vektorräume.

Wenn der resultierende metrische Raum völlig ist, dann sprechen wir von a Banach-Raum.

Allgemeiner gesagt, sie ${displaystyle d:Vimes V o R}$ eine translationsinvariante Metrik auf einem Vektorraum ${Anzeigestil V}$, also eine Metrik mit der Eigenschaft, dass the ${Anzeigestil d(x,y)=d(xz,yz)}$ für alle Vektoren ${Anzeigestil x}$, ${Anzeigestil y}$ und ${Anzeigestil z}$. Auf die gleiche Weise wie oben, ${Anzeigestil V}$ natürlich ein topologischer Vektorraum.

Ist der zugrundeliegende metrische Raum vollständig, dann spricht man von a ${Anzeigestil F}$-Platz.

Wenn wir die obige Norm durch a . ersetzen halbnormal (was keine Norm ist), dann erfüllt der topologische Raum nicht mehr die Hausdorff-Eigenschaft. Sie jedoch ${Displaystil N={n_{i};iin I}}$ eine (möglicherweise unendliche) Familie von Seminormen auf ${Anzeigestil V}$, indiziert von jeder Sammlung ${Anzeigestil I}$. Angenommen, die Familie ${Displaystil N}$unverwechselbar ist in dem Sinne, dass für alle nicht-Nullvektor${Anzeigestil xin V}$ es gibt mindestens ein Mitglied ${displaystyle n_{i}}$ der Familie existiert, für die ${Anzeigestil n_{i}(x)>0.}$ Dann existiert eine kleinste Topologie auf ${Anzeigestil V}$ diese alle ${displaystyle n_{i}}$ macht kontinuierlich. Diese Topologie erfüllt die Anforderungen eines topologischen Vektorraums einschließlich der Hausdorff-Eigenschaft.

Beispiele

Die endlichdimensionalen Räume ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ und ${displaystyle mathbb {C} ^{n}}$ mit ihrer euklidischen Norm sind Banachräume. Übrigens sind bei gleicher endlicher Dimension und Körper alle Normen norm Äquivalent: sie induzieren die gleiche topologische Struktur.

${displaystyle l^{p}}$-Räume

Sie ${displaystyle 1leq p$. Name ${displaystyle l^{p}}$ der Vektorraum der unendlichen Reihen${displaystyle (a_{0},a_{1},ldots ,a_{n},ldots )}$ von denen die ${displaystyle p}$-die Kräfte eins absolut konvergente Reihe Formen:

${displaystyle sum _{i=0}^{infty }|a_{i}|^{p}$

Das ${displaystyle p}$-die Wurzel der Macht von oben Ausdruck ist ein vollständiger Standard auf ${displaystyle l^{p}}$. Dieser Standard wird normalerweise mit einem Index gekennzeichnet ${displaystyle p}$ notiert: ${displaystyle |.|_{p}}$. Das Ehepaar ${displaystyle (l^{p},|.|_{p})}$ ist ein Banachraum.

Definiere den Vektorraum ${displaystyle l^{infty }}$ als Menge unendlicher Reihen, deren Größe begrenzt ist:

${displaystyle |(a_{i})_{i}|_{infty }=sup _{i=0}^{infty}|a_{i}|$

Dann ist ${displaystyle (l^{infty},|.|_{infty})}$ auch ein Banach-Zimmer.

${displaystyle L^{p}}$-Räume

Sie ${displaystyle 0$. Definiere den Vektorraum ${displaystyle L^{p}}$ mit der Menge von Lebesgue messbaren Funktionen auf dem Intervall ${displaystyle[0,1]}$ von denen die ${displaystyle p}$- die Lebesgue-Kraft ist integrierbar:

${displaystyle n_{p}(f)=int _{0}^{1}|f(x)|^{p}dx$

(eigentlich handelt es sich um Funktionsklassen: zwei messbare Lebesgue-Funktionen gehören zur gleichen Klasse, wenn ihr Unterschied eine Nullfunktion ist)

wenn ${displaystyle 1leq p$, dann ist die ${displaystyle p}$-die Wurzel der Macht von ${displaystyle n_{p}}$ ein kompletter Standard, der auch ${displaystyle |.|_{p}}$ Anmerkungen.

wenn ${Anzeigestil 0$, dann ist ${Anzeigestil d(f,g)=n_{p}(f-g)}$ (ohne Potenzwurzel) eine translationsinvariante Metrik auf ${displaystyle L^{p}}$. Der resultierende metrische Raum ist vollständig, also haben wir a ${Anzeigestil F}$-Raum (aber kein Standard).

Analog zu ${displaystyle l^{infty }}$ wird ${displaystyle L^{infty }}$ definiert als die Sammlung der im Wesentlichen begrenzt Lebesgue-Funktionsklassen (es gibt a Nullmenge jenseits dessen die Mitglieder der Klasse absolut beschränkt sind), wobei die Norm die wesentliche oberste

${displaystyle |f|_{infty}=inf _{N}sup _{xotin N}|f(x)|}$

wahr ${Displaystil N}$ variiert über alle Lebesgue-Nullsätze hinweg. Dies ist auch ein Banach-Raum.

Weitere Informationen zu diesen Räumen: siehe Artikel LP-Zimmer.

Konvexität

Eine Menge von Vektoren ist konvex wenn bei jedem Punktpaar auch das dazwischenliegende Liniensegment zu dieser Menge gehört.

EIN lokal konvex topologischer Vektorraum ist ein topologischer Vektorraum, in dem der Nullvektor (und damit jeder andere Punkt) a lokale Basis die aus konvexen Mengen besteht. Es stellt sich heraus, dass dies genau die gleichen Räume sind, die von einer bestimmten Familie von Seminormen erzeugt werden (siehe oben unter "Normen und Metriken").

Eine translationsinvariante Metrik erzeugt nicht immer einen lokal konvexen Raum. Wir nennen Frechet-Zimmer jede lokale konvexe ${Anzeigestil F}$-Platz. (Dieser Begriff sollte nicht mit dem topologischen Trennungsaxiom${displaystyle T_{1}}$, das geht auch an Maurice Frechet genannt).

Das oben definierte ${Anzeigestil F}$-Platz ${displaystyle L^{p}}$ vor dem ${Anzeigestil 0$ ist nicht lokal konvex und daher kein Fréchet-Raum.

Kontinuierliche lineare Bilder

Praktische Anwendungen verwenden fast immer lineare Bilder von einem topologischen Vektorraum in einen anderen oder Transformationen innerhalb desselben Raums. Ein Bild ${Anzeigestil A:X oder Y}$ zwischen Vektorräumen ist linear, wenn Vektoraddition und Skalarmultiplikation berücksichtigt werden

${Anzeigestil A(r.x s.y)=r.Ax s.Ay}$

Besondere Aufmerksamkeit verdienen natürlich lineare Abbildungen, die die topologische Struktur in dem Sinne respektieren, dass sie kontinuierlich sind: für jede Umgebung ${Anzeigestil W}$ des Nullvektors von ${Anzeigestil Y}$ Gibt es eine Umgebung? ${Anzeigestil V}$ des Nullvektors von ${Anzeigestil X}$ der drinnen ${Anzeigestil W}$ wird gezeigt.

Das Operatortheorie untersucht kontinuierliche oder diskontinuierliche lineare Karten zwischen topologischen Vektorräumen.

Doppelter Raum

Das Doppelraum${Displaystil X^{*}}$ eines topologischen Vektorraums ${Anzeigestil X}$ besteht aus dem kontinuierliche lineare Funktionale auf ${Anzeigestil X}$, d. h. die stetigen linearen Abbildungen von ${Anzeigestil X}$ zu seinem Skalarfeld (den reellen oder komplexen Zahlen).

Die Vektorraumstruktur von ${Anzeigestil X^{*}}$ (Addition und Skalarmultiplikation) ist offensichtlich. Dieser Raum kann mit der kleinsten Topologie ausgestattet werden, die die Auswertungsbilder

${displaystyle e_{x}:X^{*} o (mathbb {R} {hbox{ or }}mathbb {C} ):fmapsto f(x){hbox{ für feste }}xin X}$

stetig (dies ist ein Beispiel für a Ausgangstopologie). Diese Topologie heißt schwach* ("schwacher Stern") Topologie. Sie stellt sich immer heraus Hausdorff sein und macht damit aus ${Displaystil X^{*}}$ ein topologischer Vektorraum. Außerdem ist dieser topologische Vektorraum lokal konvex.

Auf dem ursprünglichen Platz ${Anzeigestil X}$ man kann die kleinste Topologie anzeigen, die alle Elemente von enthält ${Displaystil X^{*}}$ stetig, also auch eine Ausgangstopologie. Dies ist jedoch nur Hausdorff, wenn die stetigen linearen Funktionale Trennung das heißt, wenn für jedes Element ${displaystyle xinXsetminus {0}}$ mindestens ein stetiges lineares Funktional

${Displaystil-Finne X^{*}}$ existiert mit ${Anzeigestil f(x)eq 0}$.

Nicht alle topologischen Vektorräume ${Anzeigestil X}$ "genug" stetige lineare Funktionale haben, um dies zu erfüllen, aber wenn ${Anzeigestil X}$ lokal konvex gilt diese Eigenschaft. In diesem Fall sprechen wir von der schwache Topologie von ${Anzeigestil X}$. Die schwache Topologie kann sich durchaus von der ursprünglichen Topologie von . unterscheiden ${Anzeigestil X}$, aber zumindest ist es lokal konvex. Außerdem ist ihr dualer Raum wieder ${Anzeigestil X^{*}}$.

Der Begriff "schwache Topologie" beruht darauf, dass die offene Sammlungen dieser Topologie bilden eine Teilmenge der ursprünglichen Topologie von X.

Beispiel

Von dem Darstellungssatz von Rieszz folgt, dass die Doppelraum von ${Displaystil X=C[0,1]}$, die kontinuierliche komplexe Funktionen auf der geschlossenen Einheitsintervall, besteht aus komplex Borelgrößen (komplexe Linearkombinationen von Wahrscheinlichkeitsmaße).

Quellen

1. ↑Conway, John B., Vorwort zu "A Course in Functional Analysis", Springer Graduate Texts in Mathematics 96, 2. Auflage 1990