WikiDer > LP-Raum

Hinweis: Der richtige Name ist${displaystyle L^{p}}$-Platz .

In dem Funktionsanalyse, eine Unterregion der Mathematik, sein l^p-RäumeVeranstaltungsräume die durch natürliche Verallgemeinerungen von defined definiert werden ${displaystyle p}$-Standards vor dem endlich--dimensionalVektorräume. Sie werden manchmal Lebesgue-Räume benannt nach Henri Lebesgue^[1], obwohl nach bourbakisch^[2] 1910 erstmals von Riesz^[3] wurden vorgestellt. Sie bilden eine wichtige Klasse von Beispielen für banach räume in dem Funktionsanalyse und von topologische Vektorräume. Lebesgue-Räume finden Anwendungen in Physik, Statistik, Finanzwesen, Ingenieurwesen und anderen Disziplinen

Klassische Definition

Sie ${displaystyle 1leq p$. Definieren ${displaystyle l^{p}}$ wie die Sammlung unendlichReihenreale Nummern${displaystyle (a_{0},a_{1},ldots ,a_{n},ldots)}$ mit der Eigenschaft, dass die Reihensumme ihrer ${displaystyle p}$-das Kräfteabsolut konvergiert:

${displaystyle sum _{i=0}^{infty }|a_{i}|^{p}$.

Die Sammlung ${displaystyle l^{p}}$ bildet a Vektorraum mit der Punktaddition von Zeilen und der Punktmultiplikation mit einer reellen Zahl:

${displaystyle rcdot (a_{0},a_{1},ldots ,a_{n},ldots ) scdot (b_{0},b_{1},ldots ,b_{n},ldots )=(ra_{0} sb_{0},ra_{1} sb_{1},ldots ,ra_{n} sb_{n},ldots )}$

Das ${displaystyle p}$-das Machtwurzel der obigen Reihensumme ist a Norm:

${displaystyle |(a_{i})_{i}|_{p}=left(sum _{i=0}^{infty }|a_{i}|^{p}ight)^{1 über p} }$

Der zugehörige metrischer Raum ist völlig, ${displaystyle l^{p}}$ ist daher ein Banachraum.

wenn ${displaystyle p>1}$, dann ist der duale Banachraum von is ${displaystyle l^{p}}$ natürlich isometrisch mit dem Banachraum ${displaystyle l^{q}}$, wahr ${displaystyle { frac {1}{p}} { frac {1}{q}}=1.}$ das Natürliche Isometrie ist durch eine Folge gegeben ${displaystyle (b_{0},b_{1},ldots ,b_{n},ldots)}$ von ${displaystyle l^{q}}$ wie folgt als a funktional damit es nacheinander funktioniert ${displaystyle (a_{0},a_{1},ldots ,a_{n},ldots)}$ von ${displaystyle l^{p}}$:

${displaystyle (a_{0},a_{1},ldots ,a_{n},ldots )mapto sum _{i=0}^{infty }a_{i}b_{i}}$.

Das Hölder . Ungleichung garantiert, dass die obige Reihe absolut konvergiert. wenn ${Anzeigestil p=2}$, dann auch ${Anzeigestil q=2}$. Der Raum ${displaystyle l^{2}}$ ist ein hilbert zimmer Mit als Skalarprodukt die rechte Seite des obigen Ausdrucks.

Die Sammlung ${displaystyle l^{infty }}$ besteht aus allem begrenzt echte Reihen. Dies wird ein Banach-Raum mit dem höchste norm

${displaystyle |(a_{i})_{i}|_{infty}=sup _{i=0}^{infty}|a_{i}|}$

Die induzierte Topologie ist die der gleichmäßige Konvergenz. Denn mit ein bisschen gutem Willen ${displaystyle { frac {1}{1}} { frac {1}{infty }}=1,}$ es scheint plausibel, dass ${displaystyle l^{infty }}$ der duale Raum ist von ${displaystyle l^{1},}$ und das stellt sich auch als wahr heraus. Das Gegenteil ist jedoch nicht der Fall: ${displaystyle l^{1}}$ entspricht natürlich einem reellen Unterraum des Duals von ${displaystyle l^{infty}.}$

Allgemeine Definition

Über ${displaystyle l^{p}}$-Raum wird verallgemeinert zu ${displaystyle L^{p}}$-Raum, definiert durch integrierbare Klassen reeller Funktionen im Sinne des Lebesgue-Integral.

Wir geben hier die allgemeine Definition mit Klassen integrierbarer Funktionen auf a Raum messen${displaystyle (Omega ,{mathcal {A}},mu )}$. Die Funktionen nehmen Werte in den reellen Zahlen an ${displaystyle mathbb {R} }$ oder in den komplexen Zahlen ${displaystyle mathbb {C} }$. Die Theorie ist in beiden Fällen stark analog, und wir verwenden den Buchstaben ${displaystyle mathbb {K} }$ zu einem von beiden Körper um anzuzeigen. Die von uns definierten topologischen Vektorräume sind Vektorräume über ${displaystyle mathbb {K} }$.

Sie ${displaystyle 0$. Definieren ${displaystyle {mathcal {L}}^{p}}$ wie die Sammlung ${displaystyle {mathcal {A}}}$-messbare Funktionen ${displaystyle f:Omega oder mathbb {K}}$ von denen die ${displaystyle p}$-die Leistung ist absolut integrierbar:

${displaystyle int _{Omega}|f(omega)|^{p}dmu (omega)$.

Sie ${displaystyle {mathcal {N}}}$ das linearer Unterraum der Funktionen mit ${displaystyle int _{Omega}|f(omega)|^{p}dmu (omega)=0}$ (Nullfunktionen). Dann ist der obige Ausdruck immer noch gut definiert auf der Co-Klassen von ${displaystyle {mathcal {N}}}$ im ${displaystyle {mathcal {L}}^{p}}$. Wir verwenden immer noch die Notation ${displaystyle f}$ für Äquivalenzklassen von Funktionen modulo ${displaystyle {mathcal {N}}}$ (obwohl dann ${Anzeigestil f(omega)}$ auf unbestimmte Zeit für a ${Anzeigestil Omega}$ mit ${Anzeigestil mu (omega)=0}$) und beachten Sie ${displaystyle L^{p}={mathcal {L}}^{p}/{mathcal {N}}}$ für den Quotientenraum.

wenn ${displaystyle pgeq 1}$, dann ist

${displaystyle |f|_{p}=(int _{Omega}|f(omega)|^{p}dmu (omega))^{1 über p}}$

ein Standard auf ${displaystyle L^{p},}$ und ${Anzeigestil (L^{p},|.|_{p})}$ ist ein Banach-Raum.

wenn ${Anzeigestil 0$, dann die Funktion

${displaystyle d(f,g)=int _{Omega}|f(omega)-g(omega)|^{p}dmu (omega)}$

eine Übersetzungsinvariante metrisch auf ${displaystyle L^{p}}$, und ${Anzeigestil (L^{p},d)}$ ist ein voll metrischer Raum. In dem Funktionsanalyse ist das ein F-Raum. Dieser Raum ist jedoch nicht lokal konvex, also nein Frechet-Zimmer.

Definieren ${displaystyle L^{infty }}$ wenn die Menge der messbaren Funktionsklassen auf ${Anzeigestil Omega}$ Das im Wesentlichen begrenzt sind in dem Sinne, dass

${displaystyle |f|_{infty}=inf_{Nin {mathcal {A}},mu (N)=0}sup _{omega in Omega setminus N}|f(omega )|$.

Der obige Ausdruck heißt wesentliche oberste von ${displaystyle f}$. Das ist es höchste des Absolutwert von ${displaystyle f}$ auf irgendwelchen Nullsätze nach dem.

Dann ist ${displaystyle (L^{infty},|.|_{infty})}$ ein Banach-Raum.

Sonderfälle

Das ${displaystyle L^{p}}$-Leerzeichen auf einem Punktpaar (mit dem Zählmaß) ergibt für jeden Wert von ${displaystyle p}$ ein besonderer Standard im Flugzeug. Das Einheitskugel in einem solchen normierter Vektorraum ist spitz oder abgeflacht, je nach Wert von ${displaystyle p}$ kleiner oder größer als 2 ist.

Das Leerzeichen${displaystyle l^{p}}$ komm zurück als Sonderfall von if Raum messen das Zählmaß über die natürlichen Zahlen. Das ${displaystyle L^{p}}$-Räume reeller Funktionen erhält man mit Lebesgue-Größe auf die reellen Zahlen.

wenn ${Anzeigestil mu}$ ist ein endliches Maß, und ${displaystyle 1leq pleq qleq infty }$, folgt dann aus dem Jensens Ungleichung Welche ${Displaystil L^{q}}$ ist eine Teilmenge von ${displaystyle L^{p}}$. Die beiden Normen sind offensichtlich unterschiedlich (und normalerweise nicht einmal topologisch äquivalent) auf der Teilmenge; insbesondere ist die Untermenge nicht notwendig Geschlossen in der Topologie des größeren Raumes.

Zusammenfassen und Verwirrung vermeiden

Dabei wird zwischen drei verschiedenen Bereichen unterschieden.

${Anzeigestil l^{p}(X)}$

beschäftigt sich mit der Konvergenz von Reihen,

${displaystyle {mathcal {L}}^{p}}$

beschäftigt sich mit der Integrierbarkeit von Funktionen und

${displaystyle L^{p}}$

handelt von Äquivalenzklassen integrierbarer Funktionen.

${displaystyle l^{p}}$

ist ein Sonderfall von ${displaystyle L^{p}}$. Beides sind Banach-Räume. Vor dem ${Anzeigestil p=2}$ sie sind beide hilberträume.

${displaystyle {mathcal {L}}^{p}}$ ist nur eine Zwischenstufe beim Bau von ${displaystyle L^{p}}$, im Allgemeinen ist es nicht gleichmäßig topologischer Vektorraum.

Fußnoten