WikiDer > Feynman-Integrationsmethode

Feynman-integratiemethode

Das Feynman-Integrationsmethode ist eine Methode zur Berechnung bestimmter some Integrale, indem es 'Differenzierung innerhalb des Integrals' genannt wird. Die Methode wird von der Physiker Richard Feynman in seinem AutobiographieSicher machen Sie Witze, Mr. Feynman wie aus dem Text entnommen Fortgeschrittenes Rechnen von Frederick S. Woods von dem MIT.

Methode

Um das Integral zu berechnen

{displaystyle I=int _{a}^{b}f(x),{m {d}}x}

wird eine Funktion ${Anzeigestil h(x,y)}$ gesucht, so dass für das Integral

{displaystyle I(y)=int _{a}^{b}h(x,y),{m {d}}x}

zählt das

{Anzeigestil I=I(y_{0})}

und die Ableitung

{displaystyle I'(y)={frac {m {d}}{{m {d}}y}}int _{a}^{b}h(x,y),{m {d}}x= int _{a}^{b}{frac {teilweise }{teilweise y}}h(x,y),{m {d}}x}

kann bestimmt werden, genau wie das Integral

{displaystyle int I'(y),{m {d}}y}

.

Es muss nachgewiesen werden, dass Differenzierung und Integration vertauscht werden können.

Beispiel

das Integral

{displaystyle I=int _{0}^{infty }{frac {sin(x)}{x}},{m {d}}x}

kann mit herkömmlichen Methoden nicht bestimmt werden.

nehmen

{displaystyle h(x,y)={frac {sin(x)}{x}}e^{-xy}}

,

So

{displaystyle I(y)=int _{0}^{infty }{frac {sin(x)}{x}}e^{-xy},{m {d}}x}

und

{displaystyle {frac {m {d}}{{m {d}}y}}I(y)=int _{0}^{infty }{frac {sin(x)}{x}}{frac {partial }{teilweise y}}e^{-xy},{m {d}}x=-int _{0}^{infty }sin(x)e^{-xy},{m {d}}x}

Verwenden von Teilintegration folgt:

{displaystyle I'(y)={frac {e^{-xy}(cos(x) ysin(x))}{1 y^{2}}}{Groß |}_{0}^{infty }= -{frak {1}{1 Jahr^{2}}}}

,

so dass

{Displaystil I(y)=-arctan(y) C}

.

Die Integrationskonstanten ${Anzeigestil C}$ folgt aus der Forderung, dass ${displaystyle 0=I(infty)=-pi/2C}$ .

Schon seit ${Anzeigestil I=I(0)=}$ folgt:

{displaystyle I=int _{0}^{infty }{frac {sin(x)}{x}},{m {d}}x=I(0)={frac {pi}{2}}.}

Dass Differenzierung und Integration vertauscht werden können, ergibt sich aus der Schätzung:

{displaystyle {Bigg |}{frac {sin(x)}{x}}e^{-xy}{Bigg |}leq e^{-xy}}

Externe Links