WikiDer > Teilintegration

In dem Integralrechnung ist Teilintegration eine Technik zur Berechnung von Integralen oder zur Berechnung von a primitive Funktion von einem gegebenen Funktion zu entscheiden. Die Regel stellt eine Beziehung zwischen dem Integral eines Produkts zweier Funktionen und dem Integral des Produkts der Ableitung einer Funktion und einem Grundelement der anderen Funktion her. Die Methode ist eine direkte Folge der Produktreihe für Ableitungen und ist besonders anwendbar, wenn der Integrand als Produkt zweier Funktionen geschrieben werden kann.

Gestell

wenn ${displaystyle f}$ und ${displaystyle g}$ sind zwei differenzierbare Funktionen mit Ableitungen ${displaystyle f'}$ und ${Displaystil g',}$ gilt:

${displaystyle int _{a}^{b}f(x)g'(x),{m {d}}x=links[f(x)g(x)ight]_{a}^{b}- int _{a}^{b}f'(x)g(x){m {d}}x}$

Beachten Sie, dass diese Formel zu einem neuen Integral führt: Die Methode ist nur sinnvoll, wenn das Integral von ${Anzeigestil f'(x)g(x)}$ leichter zu bestimmen als das ursprüngliche Integral von ${Anzeigestil f(x)g'(x).}$ Die Methode kann auch verwendet werden, um ein Primitiv zu bestimmen, die Formel hat dann folgende Form:

${displaystyle int f(x)g'(x),{m {d}}x=f(x)g(x)-int f'(x)g(x),{m {d}}x}$

Diese Formel wird abgekürzt als:

${displaystyle int f,{m {d}}g=fg-int g,{m {d}}f}$

Umleitung

Die Ableitung des Produkts zweier differenzierbarer Funktionen ${displaystyle f}$ und ${displaystyle g}$ wird von der gegeben Produktreihe:

${Anzeigestil (f(x)g(x))'=f'(x)g(x) f(x)g'(x)}$

Integrieren Sie beide Elemente über das Intervall ${Anzeigestil [a,b]}$:

${displaystyle int _{a}^{b}(f(x)g(x))',{m {d}}x=int _{a}^{b}f'(x)g(x), {m {d}}x int _{a}^{b}f(x)g'(x),{m {d}}x}$

Anwenden der Fundamentalsatz der Integralrechnung führt zur Formel der partiellen Integration:

${displaystyle left[f(x)g(x)ight]_{a}^{b}=int _{a}^{b}f'(x)g(x),{m {d}}x int _{a}^{b}f(x)g'(x),{m {d}}x}$

Beispiele

Beispiel 1

Das unbestimmte Integral

${displaystyle int xcos(x),{m {d}}x}$

können in geschlossener Form durch partielle Integration gefunden werden. weil ${Anzeigestil cos(x)}$ die Ableitung von ${displaystyle sin(x)}$ ist, folgt:

${displaystyle int xcos(x){m {d}}x=int xsin'(x),{m {d}}x}$

Teilintegration mit ${Anzeigestil f(x)=x}$ und ${Anzeigestil g(x)=sin(x)}$ liefert:

${displaystyle { egin{aligned}int xcos(x),dx&=int xsin '(x),{m {d}}x/&=xsin(x)-int sin(x),{m {d}}x /&=xsin(x) cos(x) C/end{ausgerichtet}}}$

Beispiel 2

Im vorherigen Beispiel war eine der Funktionen des Produkts ${Anzeigestil f(x)=x,}$ die sozusagen verschwindet. Integration nach Teilen ist auch dann nützlich, wenn eine positive ganzzahlige Potenz von ${Anzeigestil x}$ tritt im Integrand in Kombination mit beispielsweise trigonometrischen oder exponentiellen Funktionen auf, wie in:

${displaystyle int x^{3}e^{-x},{m {d}}x}$ und ${displaystyle int x^{2}sin(x),{m {d}}x}$

Die wiederholte Anwendung der Integration von Teilen führt zu einer geeigneten Auswahl von ${displaystyle f}$ und ${displaystyle g}$ Die kraft von ${Anzeigestil x}$ jedes Mal niedriger. Die Hoffnung ist dann, dass das verbleibende Integral leicht lösbar ist.

${displaystyle { egin{aligned}int _{0}^{infty }x^{3}e^{-x},{m {d}}x&=-int _{0}^{infty }x^{3 },{m {d}}e^{-x}=-left[x^{3}e^{-x}ight]_{0}^{infty } int _{0}^{infty }e^ {-x},{m {d}}x^{3}/&=3int _{0}^{infty}x^{2}e^{-x},{m {d}}x=-3int _{0}^{infty}x^{2},{m {d}}e^{-x}=-3links[x^{2}e^{-x}ight]_{0}^{infty } 3int _{0}^{infty}e^{-x},{m {d}}x^{2}/&=3cdot 2int _{0}^{infty}xe^{-x},{m {d}}x=-6int _{0}^{infty}x,{m {d}}e^{-x}=-6left[xe^{-x}ight]_{0}^{infty } 6int _{0}^{infty}e^{-x},{m {d}}x/&=6end{aligned}}}$

Beispiel 3

Einige Integrale können bestimmt werden, indem man die zu integrierende Funktion als Produkt von 1 mit sich selbst betrachtet. Bewerbung mit ${Anzeigestil f(x)=ln(x)}$ und ${Anzeigestil g(x)=x,}$ so dass ${Anzeigestil g'(x)=1,}$ liefert für das Integral von ${Anzeigestil ln(x):}$

${displaystyle { egin{aligned}int ln(x)cdot 1,{m {d}}x&=xln(x)-int x,{m {d}}ln(x)/&=xln(x)-int x{frac {1}{x}},{m {d}}x/&=xln(x)-int 1,{m {d}}x/&=xln(x)-x C/end{ausgerichtet }}}$

Beispiel 4

Eine andere Möglichkeit, einige Integrale zu berechnen, besteht darin, die Integration wiederholt anzuwenden, bis das ursprüngliche Integral wieder erhalten ist. Das folgende Beispiel veranschaulicht diese Methode, indem die Integration nach Teilen zweimal angewendet wird.

${displaystyle { egin{aligned}int _{-pi }^{pi }e^{x}cos(x),{m {d}}x&=left[sin(x)e^{x}ight]_{ -pi }^{pi }-int _{-pi }^{pi }sin(x)e^{x},{m {d}}x/&=links[cos(x)e^{x}ight ]_{-pi }^{pi }-int _{-pi }^{pi }e^{x}cos(x),{m {d}}x/&=left(-e^{pi } e ^{-pi }ight)-int _{-pi }^{pi }e^{x}cos(x),{m {d}}x/end{aligned}}}$

Das Integral wird nun einfach bestimmt, indem man das erhaltene Integral auf der rechten Seite des Stabes vertauscht und durch 2 teilt:

${displaystyle int _{-pi}^{pi}e^{x}cos(x),{m {d}}x={frac {-e^{pi} e^{-pi}}{2}} =sinh(-pi)=-sinh(pi)}$

Siehe auch

• Bruchspaltung
• Integration durch Substitution