WikiDer > Поле с одним элементом

Field with one element

В математика, то поле с одним элементом наводящее на размышления имя для объекта, который должен вести себя аналогично конечное поле с одним элементом, если такое поле могло существовать. Этот объект обозначен F1, или, используя французско-английский каламбур, FООН.[1] Название «поле с одним элементом» и обозначение F1 только наводят на размышления, поскольку в классическом абстрактная алгебра. Вместо, F1 относится к идее, что должен быть способ заменить наборы и операции, традиционные строительные блоки для абстрактной алгебры, другими, более гибкими объектами. Многие теории F1 были предложены, но неясно, какие из них дают F1 все желаемые свойства. Хотя в этих теориях до сих пор нет поля с одним элементом, существует подобный полю объект, характеристика является одним.

Наиболее предлагаемые теории F1 полностью заменить абстрактную алгебру. Математические объекты, такие как векторные пространства и кольца многочленов могут быть перенесены в эти новые теории, имитируя их абстрактные свойства. Это позволяет развивать коммутативная алгебра и алгебраическая геометрия на новых основах. Одна из определяющих черт теорий F1 состоит в том, что эти новые основы допускают больше объектов, чем классическая абстрактная алгебра, один из которых ведет себя как поле характеристического.

Возможность изучения математики F1 был первоначально предложен в 1956 г. Жак Титс, опубликовано в Сиськи 1957, на основе аналогии между симметриями в проективная геометрия и комбинаторика симплициальные комплексы. F1 был связан с некоммутативная геометрия и к возможному доказательству Гипотеза Римана.

История

В 1957 году Жак Титс представил теорию здания, которые связаны алгебраические группы к абстрактные симплициальные комплексы. Одно из предположений - условие нетривиальности: если здание п-мерный абстрактный симплициальный комплекс, и если k < п, то каждые k-комплекс здания должен состоять не менее чем из трех п-симплексы. Это аналогично условию в классической проективная геометрия что в строке должно быть не менее трех точек. Однако есть выродиться геометрии, которые удовлетворяют всем условиям, чтобы быть проективной геометрией, за исключением того, что прямые допускают только две точки. Аналогичные объекты в теории строительства называются квартирами. Квартиры играют такую ​​определяющую роль в теории зданий, что Титс предположил существование теории проективной геометрии, в которой вырожденные геометрии имели бы равное положение с классическими. По его словам, эта геометрия будет иметь место в течение поле характеристической единицы.[2] Используя эту аналогию, можно было описать некоторые элементарные свойства F1, но построить его не удалось.

После первоначальных наблюдений Титса до начала 1990-х годов не было достигнуто большого прогресса. В конце 1980-х Александр Смирнов провел серию докладов, в которых высказал предположение, что гипотезу Римана можно доказать, рассматривая целые числа как кривую над полем с одним элементом. К 1991 году Смирнов сделал несколько шагов в сторону алгебраической геометрии над F1,[3] введение расширений F1 и используя их для обработки проективной линии п1 над F1.[3] Алгебраические числа рассматривались как карты к этому п1, и предположительные приближения к формула Римана – Гурвица для этих карт были предложены. Эти приближения подразумевают очень глубокие утверждения вроде гипотеза abc. Расширения F1 позже были обозначены как Fq с q = 1п. Вместе с Михаил Капранов, Смирнов продолжал исследовать, как алгебраические и теоретико-числовые конструкции в простой характеристике могут выглядеть в «характеристической единице», кульминацией чего стала неопубликованная работа, выпущенная в 1995 году.[4] В 1993 г. Юрий Манин прочитал серию лекций по дзета-функции где он предложил развивать теорию алгебраической геометрии над F1.[5] Он предположил, что дзета-функции многообразий над F1 имел бы очень простые описания, и он предложил связь между K-теория из F1 и гомотопические группы сфер. Это вдохновило нескольких людей на попытку построить явные теории F1-геометрия.

Первое опубликованное определение разнообразия более F1 пришли из Кристоф Суле в 1999 году,[6] который построил его с помощью алгебр над комплексными числами и функторов из категорий определенных колец.[6] В 2000 году Чжу предложил F1 был таким же, как F2 за исключением того, что сумма единицы и единицы равнялась единице, а не нулю.[7] Дейтмар предположил, что F1 следует найти, забыв об аддитивной структуре кольца и сосредоточив внимание на умножении.[8] Тоен и Вакье построили на теории относительных схем Хакима и определили F1 с помощью симметричные моноидальные категории.[9] Позже было показано, что их конструкция эквивалентна конструкции Дейтмара Веццани.[10] Николай Дуров построен F1 как коммутативный алгебраический монада.[11] Боргер использовал спуск построить его из конечных полей и целых чисел.[12]

Ален Конн и Катерина Консани развил концепции Суле и Дейтмара, «склеив» категорию мультипликативных моноидов и категорию колец, чтобы создать новую категорию затем определение F1-схемы как особый вид представимых функторов на [13] Используя это, им удалось дать представление о нескольких теоретико-числовых конструкциях над F1 такие как мотивы и расширения полей, а также построение Группы Шевалле над F12. Вместе с Матильда Марколли, Конн-Консани также подключили F1 с некоммутативная геометрия.[14] Также было предложено подключиться к догадка уникальных игр в теория сложности вычислений.[15]

Оливер Лоршайд, наряду с другими, недавно достиг первоначальной цели Титса - описать группы Шевалле над F1 путем введения объектов, называемых чертежами, которые являются одновременным обобщением обоих полукольца и моноиды.[16][17] Они используются для определения так называемых «синих схем», одна из которых - Spec F1.[18] Идеи Лоршейда несколько отличаются от других представлений о группах над F1, в этом F1-схема сама по себе не является группой Вейля своего базового расширения до нормальных схем. Лоршеид сначала определяет категорию Титса, полную подкатегорию категории синих схем, и определяет «расширение Вейля», функтор из категории Титса в Набор. Модель Титса-Вейля алгебраической группы это синяя схема грамм с групповой операцией, которая является морфизмом в категории Титса, базовое расширение которой и чье расширение Вейля изоморфно группе Вейля

F1-геометрия была связана с тропической геометрией благодаря тому факту, что полукольца (в частности, тропические полукольца) возникают как частные некоторого моноидного полукольца N[А] конечных формальных сумм элементов моноида А, который сам по себе F1-алгебра. Эта связь становится очевидной из-за того, что Лоршайд использовал чертежи.[19] Братья Джансиракуза построили теорию тропических схем, для которой их категория тропических схем эквивалентна категории Тоена-Ваки. F1-схемы.[20] Эта категория точно, но не полностью, входит в категорию синих схем и является полной подкатегорией категории схем Дурова.

Мотивации

Алгебраическая теория чисел

Одна мотивация для F1 происходит от алгебраическая теория чисел. Доказательство Вейля Гипотеза Римана для кривых над конечными полями начинается с кривой C над конечным полем k, который оснащен функциональное поле F, который является расширение поля из k. Каждое такое функциональное поле порождает Дзета-функция Хассе – Вейля ζF, а гипотеза Римана для конечных полей определяет нули ζF. Доказательство Вейля затем использует различные геометрические свойства C учиться ζF.

Поле рациональных чисел Q связан аналогичным образом с Дзета-функция Римана, но Q не является функциональным полем многообразия. Вместо, Q - функциональное поле схема Спецификация Z. Это одномерная схема (также известная как an алгебраическая кривая), поэтому должно быть какое-то "базовое поле", над которым лежит эта кривая, из которого Q будет расширение поля (так же, как C кривая над k, и F является продолжением k). Надежда F1-геометрия - это подходящий объект F1 могло бы играть роль этого базового поля, что позволило бы доказать Гипотеза Римана имитируя доказательство Вейля с F1 на месте k.

Геометрия Аракелова

Геометрия над полем с одним элементом также мотивируется Геометрия Аракелова, куда Диофантовы уравнения изучаются с использованием инструментов из сложная геометрия. Теория включает сложные сравнения между конечными полями и комплексными числами. Здесь наличие F1 полезно по техническим причинам.

Ожидаемые свойства

F1 это не поле

F1 не может быть полем, потому что по определению все поля должны содержать два различных элемента: аддитивная идентичность ноль и мультипликативная идентичность один. Даже если это ограничение снимается (например, позволяя аддитивному и мультипликативному тождествам быть одним и тем же элементом), кольцо с одним элементом должно быть нулевое кольцо, который не ведет себя как конечное поле. Например, все модули над нулевым кольцом изоморфны (поскольку единственный элемент такого модуля - нулевой элемент). Однако одна из ключевых мотиваций F1 это описание наборов как "F1-векторные пространства »- если бы конечные множества были модулями над нулевым кольцом, то все конечные множества были бы одного и того же размера, что не так.

Другие свойства

Расчеты

Различные конструкции на набор аналогичны структурам в проективном пространстве и могут быть вычислены таким же образом:

Множества - проективные пространства

Количество элементов п(Fп
q
) = пп−1(Fq), (п − 1)-размерный проективное пространство над конечное поле Fq, это q-целое число[24]

Принимая q = 1 дает [п]q = п.

Расширение q-целое в сумму степеней q соответствует Ячейка Шуберта разложение проективного пространства.

Перестановки - это максимальные флаги

Есть п! перестановки набора с п элементы и [п]q! максимальный флаги в Fп
q
, куда

это q-факториал. Действительно, перестановку множества можно рассматривать как фильтрованный набор, поскольку флаг - это фильтрованное векторное пространство: например, упорядочение (0, 1, 2) множества {0,1,2} соответствует фильтрации {0} ⊂ {0,1} ⊂ {0,1,2}.

Подмножества - это подпространства

В биномиальный коэффициент

дает количество м-элементные подмножества п-элементный набор, а q-биномиальный коэффициент

дает количество м-мерные подпространства п-мерное векторное пространство над Fq.

Расширение q-биномиальный коэффициент в сумму степеней q соответствует Ячейка Шуберта разложение Грассманиан.

Моноидные схемы

Построение моноидных схем Дейтмара[25] был назван "самой сердцевиной F1-геометрия",[16] как и большинство других теорий F1-геометрия содержит описания моноидных схем. Морально это имитирует теорию схемы разработан в 1950-х и 1960-х годах путем замены коммутативные кольца с моноиды. Эффект этого состоит в том, чтобы «забыть» аддитивную структуру кольца, оставив только мультипликативную структуру. По этой причине ее иногда называют «неаддитивной геометрией».

Моноиды

А мультипликативный моноид это моноид А который также содержит поглощающий элемент 0 (отличный от единицы 1 моноида), такая что 0а = 0 для каждого а в моноиде А. Тогда поле с одним элементом определяется как F1 = {0,1}, мультипликативный моноид поля с двумя элементами, который исходный в категории мультипликативных моноидов. А моноидный идеал в моноиде А это подмножество я который мультипликативно замкнут, содержит 0 и такой, что Я = {ра : ря, аА} = я. Такой идеал основной если мультипликативно замкнуто и содержит 1.

Для моноидов А и B, а моноидный гомоморфизм это функция ж : АB такой, что;

  • ж(0) = 0;
  • ж(1) = 1, и
  • ж(ab) = ж(а)ж(б) для каждого а и б в А.

Моноидные схемы

В спектр моноида А, обозначенный Спецификация А, - множество простых идеалов А. Спектру моноида можно дать Топология Зарисского, определяя базовые открытые множества

для каждого час в А. А моноидальное пространство является топологическим пространством вместе с пучок мультипликативных моноидов, называемых структурный пучок. An аффинная моноидная схема - моноидальное пространство, изоморфное спектру моноида, а схема моноида представляет собой пучок моноидов, который имеет открытое покрытие аффинными схемами моноидов.

Схемы моноидов можно превратить в теоретико-кольцевые схемы с помощью базовое расширение функтор который отправляет моноид А к Z-модуль (т.е. кольцо) и гомоморфизм моноида ж : АB продолжается до гомоморфизма колец который линейен как Z-модульный гомоморфизм. Базовое расширение аффинной моноидной схемы определяется формулой

что, в свою очередь, определяет базовое расширение общей схемы моноидов.

Последствия

Эта конструкция обеспечивает многие из желаемых свойств F1-геометрия: Спецификация F1 состоит из одной точки, поэтому ведет себя аналогично спектру поля в традиционной геометрии, а категория схем аффинных моноидов двойственна категории мультипликативных моноидов, отражая двойственность аффинных схем и коммутативных колец. Кроме того, эта теория удовлетворяет комбинаторным свойствам, ожидаемым от F1 упомянутые в предыдущих разделах; например, проективное пространство над F1 измерения п поскольку моноидная схема идентична квартире проективного пространства над Fq измерения п когда описывается как здание.

Однако схемы моноидов не выполняют всех ожидаемых свойств теории F1-геометрия, так как единственными разновидностями, имеющими аналоги по схеме моноида, являются торические многообразия.[26] Точнее, если Икс - схема моноида, базовое расширение которой плоский, отделенный, связаны схема конечный тип, то базовое расширение Икс - торическое многообразие. Другие понятия F1-геометрия, например, Конна – Консани,[27] опираться на эту модель, чтобы описать F1-многообразия, не являющиеся торическими.

Расширения полей

Можно определить расширения полей поля с одним элементом как группа корни единства, или более точно (с геометрической структурой) как групповая схема корней единства. Это неестественно изоморфно циклическая группа порядка п, изоморфизм в зависимости от выбора первобытный корень единства:[28]

Таким образом, векторное пространство размерности d над F1п конечное множество порядка дн на котором свободно действуют корни единства вместе с базовой точкой.

С этой точки зрения конечное поле Fq является алгеброй над F1п, размерности d = (q − 1)/п для любого п это фактор q − 1 (Например п = q − 1 или же п = 1). Это соответствует тому, что группа единиц конечного поля Fq (которые являются q − 1 ненулевые элементы) - циклическая группа порядка q − 1, на котором любая циклическая группа порядка, делящая q − 1 действует свободно (возведением в степень), а нулевой элемент поля является базовой точкой.

Точно так же действительные числа р являются алгеброй над F12, бесконечной размерности, поскольку действительные числа содержат ± 1, но не содержат других корней из единицы, а комплексные числа C являются алгеброй над F1п для всех п, опять же бесконечного измерения, поскольку все комплексные числа имеют корни из единицы.

С этой точки зрения любое явление, зависящее только от поля, имеющего корни единства, можно рассматривать как происходящее из F1 - например, дискретное преобразование Фурье (комплексные) и связанные теоретико-числовое преобразование (Z/пZ-значен).

Смотрите также

Примечания

  1. ^ "ООН«по-французски означает« один », и весело - игривое английское слово. Примеры этого обозначения см., Например, Ле Брюйн (2009)или ссылки Ле Брюна, Конна и Консани.
  2. ^ Сиськи (1957).
  3. ^ а б Смирнов (1992)
  4. ^ Капранов и Смирнов (1995)
  5. ^ Манин (1995).
  6. ^ а б c d Суле (1999)
  7. ^ Леско (2009).
  8. ^ Дейтмар (2005).
  9. ^ Тоен и Ваки (2005).
  10. ^ Веццани (2010)
  11. ^ Дуров (2008).
  12. ^ Боргер (2009).
  13. ^ Конн и Консани (2010).
  14. ^ Конн, Консани и Марколли (2009)
  15. ^ Калаи, Гил (10 января 2018 г.), «Субхаш Хот, Дор Минзер и Мули Сафра доказали гипотезу об играх 2 к 2», Комбинаторика и не только
  16. ^ а б Лоршеид (2018a)
  17. ^ (Lorscheid 2018b)
  18. ^ Лоршеид (2016)
  19. ^ Лоршеид (2015)
  20. ^ Джиансиракуза и Джиансиракуза (2016)
  21. ^ Ной Снайдер, Поле с одним элементом, Секретный семинар по ведению блогов, 14 августа 2007 г.
  22. ^ Результаты этой недели по математической физике, неделя 187
  23. ^ Дейтмар (2006).
  24. ^ Результаты этой недели по математической физике, неделя 183, q-арифметика
  25. ^ Дейтмар (2005)
  26. ^ Дейтмар (2006)
  27. ^ Конн и Консани (2010)
  28. ^ Михаил Капранов, ссылки на фольклор F_un

Библиография

внешняя ссылка