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die Aufteilung der Lyman-alpha Linie durch die feine Struktur

In dem Atomphysik beschreibt die Feine Struktur die Aufteilung von Spektrallinien von Atome aufgrund relativistischer Korrekturen erster Ordnung.

In erster Näherung können Spektren ohne Berücksichtigung dieser Effekte berechnet werden: Man geht von nicht-relativistischen Elektronen ohne Spinne. Für ein wasserstoffähnliches Atom hängen die Energieniveaus dann nur noch von der Hauptquantenzahl nein. Die Berücksichtigung relativistischer Korrekturen und Spins eliminiert die Entartung von Energieniveaus und bewirkt die Aufspaltung von Spektrallinien. Feinstrukturkorrekturen liegen in der Größenordnung (Z)², wahr z es Ordnungszahl ist der in Betracht gezogene Element und α das Feinstrukturkonstante stellt eine dimensionslose Zahl dar, die ungefähr 1/137 entspricht.

Die Feinstruktur lässt sich in drei Terme unterteilen: die kinetische Energie, eine Spin-Bahn-Kopplung und einen Darwin-Term. Das Ganze Hamiltonian wird gegeben von

${displaystyle H=H_{0} H_{mathrm {kinetic} } H_{mathrm {sb} } H_{mathrm {Darwin} }}$

Korrekturen aufgrund kinetischer Energie

In der klassischen Mechanik ist die kinetische Energie gleich

${displaystyle T={frac {p^{2}}{2m}}}$

In dem spezielle Relativitätstheorie Das obige Ergebnis ändert sich jedoch:

${displaystyle T={sqrt {p^{2}c^{2}m^{2}c^{4}}}-mc^{2}}$

Der erste Term ist die gesamte relativistische Energie, und der zweite Term ist gleich der Restmenge des Elektrons (mit Masse ich). EIN Taylor-Entwicklung der obigen Formel ergibt

${displaystyle T={frac {p^{2}}{2m}}-{frac {p^{4}}{8m^{3}c^{2}}} cdots }$

Die Korrektur erster Ordnung des Hamilton-Operators ist also

${displaystyle H_{mathrm {kinetic}}=-{frac {p^{4}}{8m^{3}c^{2}}}}$

Im Aufschlüsselungskonto so kann die Korrektur erster Ordnung aufgrund relativistischer Effekte wie folgt berechnet werden:

${displaystyle E_{n}^{(1)}=langle psi ^{0}vert H'vert psi ^{0}angle =-{frac {1}{8m^{3}c^{2}}}langle psi ^{0}vert p^{4}vert psi ^{0}angle =-{frac {1}{8m^{3}c^{2}}}lang psi ^{0}vert p^{2} p^{2}vert psi ^{0}Winkel }$

wahr ψ⁰ die ungestörten Wellenfunktion ist. Mit ungestörtem Hamiltonian huh⁰ es wird klar, dass

${displaystyle H^{0}vert psi ^{0}angle =E_{n}vert psi ^{0}angle }$

${displaystyle left({frac {p^{2}}{2m}} Vight)vert psi ^{0}angle =E_{n}vert psi ^{0}angle }$

${displaystyle p^{2}vert psi ^{0}Winkel =2m(E_{n}-V)vert psi ^{0}Winkel}$

Für die relativistische Korrektur ergibt sich

${displaystyle E_{n}^{(1)}=-{frac {1}{8m^{3}c^{2}}}long psi ^{0}vert p^{2}p^{2}vert psi ^{0}Winkel }$

${displaystyle E_{n}^{(1)}=-{frac {1}{8m^{3}c^{2}}}long psi ^{0}vert (2m)^{2}(E_{n }-V)^{2}vert psi ^{0}Winkel }$

${displaystyle E_{n}^{(1)}=-{frac {1}{2mc^{2}}}(E_{n}^{2}-2E_{n}langle Vangle langle V^{2}angle )}$

Für das Wasserstoffatom gilt

${displaystyle V={frac {e^{2}}{r}}}$, ${displaystyle langle Vangle ={frac {-e^{2}}{a_{0}n^{2}}}}$ und ${displaystyle langle V^{2}angle ={frac {e^{4}}{(l {frac {1}{2}})n^{3}a_{0}^{2}}}}$,

wahr ${displaystyle a_{0}}$ das Bohrstraße schlägt vor, ${displaystyle n}$ es Hauptquantenzahl ist und ${displaystyle l}$ die sekundäre Quantenzahl. Die relativistische Korrektur für das Wasserstoffatom ist daher

${displaystyle E_{n}^{(1)}=-{frac {1}{2mc^{2}}}links(E_{n}^{2} 2E_{n}{frac {e^{2}} {a_{0}n^{2}}} {frac {e^{4}}{(l {frac {1}{2}})n^{3}a_{0}^{2}}}ight )=-{frac {E_{n}^{2}}{2mc^{2}}}links({frac {4n}{l {frac {1}{2}}}}-3ight)}$

die Tatsache ausnutzen, dass

${displaystyle E_{n}=-{frac {e^{2}}{2a_{0}n^{2}}}}$

Numerisch ist die Größenordnung der Korrektur für den Grundzustand gleich −9,056 × 10⁻⁴ eV.

Spin-Orbit-Link

Die Spin-Bahn-Kopplung ist gegeben durch die Beziehung:

${displaystyle H_{sb}={frac {1}{2}}left({frac {Ze^{2}}{4pi Epsilon _{0}}}ight)left({frac {g_{s}}{2m_ {e}^{2}c^{2}}}ight){frac {{vec {L}}cdot {vec {S}}}{r^{3}}}}$

Das SpinneOrbitkorrektur tritt auf, wenn wir uns vom Standard entfernen Bezugsrahmen (wo das Elektron die Atomkern bewegen Sie sich in einen Rahmen, in dem das Elektron stationär ist und sich der Atomkern um das Elektron bewegt. In diesem Fall bildet der Kern eine Stromschleife, die wiederum a Magnetfeld Ursachen. Das Elektron hat jedoch a magnetisches Moment wegen seines intrinsischen Spins. Das Magnetfeld ${displaystyle {vec {B}}}$ daher Links zum Moment ${displaystyle {vec {mu}}_{s}}$, so dass die relative Orientierung der beiden Vektoren Energie kostet (oder abgibt). Dies führt zu einer Korrektur der Energieniveaus der Form

${Anzeigestil Delta E_{SB}=xi(r){vec {L}}cdot {vec {S}}}$

Der Faktor 2 hat mit der Änderung des Bezugssystems zu tun und wird auch Thomas-Faktor genannt.

Schon seit

${displaystyle leftlangle {frac {1}{r^{3}}}ightangle ={frac {1}{n^{3}a_{0}^{3}}}{frac {1}{l(l {frac {1}{2}})(l 1)}}}$

und

${displaystyle leftlangle {vec {L}}cdot {vec {S}}ightangle ={frac {hbar ^{2}}{2}}(j(j 1)-l(l 1)-s(s 1)) }$

ist der Erwartungswert für die Energieniveaus

${displaystyle leftlangle H_{SB}ightangle ={frac {E_{n}{}^{2}}{m_{e}c^{2}}}left(n{frac {j(j 1)-l(l 1)-{frac {3}{4}}}{llleft(l {frac {1}{2}}ight)(l 1)}}ight)}$

In der Größenordnung liegt die Spin-Bahn-Kopplung damit

${displaystyle {frac {Z}{n^{3}}}10^{-5}{ ext{ eV}}}$

Darwin-Begriff

Der Darwin-Term ist gegeben durch

${displaystyle E_{mathrm {Darwin} }={frac {hbar ^{2}}{8m_{e}^{2}c^{2}}},4pi left({frac {Ze^{2}}{4pi Epsilon _{0}}}ight)delta ^{3}links({vec {r}}ight)}$

mit anderen Worten

${displaystyle E_{mathrm {Darwin} }={frac {hbar ^{2}}{8m_{e}^{2}c^{2}}},4pi left({frac {Ze^{2}}{4pi Epsilon _{0}}}ight)|psi (0)^{2}|}$

mit

${displaystyle psi (0)=0{ ext{ if }}lgeq 1}$

${displaystyle psi (0)={frac {1}{sqrt {4pi }}},2left({frac {Z}{after_{0}}}ight)^{frac {3}{2}}{ ext{ if }}l=0}$

Und somit:

${displaystyle E_{mathrm {Darwin} }={frac {2n}{m_{e}c^{2}}},E_{n}^{2}}$

Der Darwin-Begriff betrifft nur die S-Stufen. Die 2s-Bahn erhält aufgrund des 2s-Zustands mit due die gleiche Energie wie die 2p-Bahn 9,057 × 10⁻⁵ eV erhöhen, ansteigen.

Der Darwin-Term erhöht das effektive Potential des Atomkerns und kann als Verschmieren der elektrischen Ladung des Elektrons und des Kerns aufgrund von due Sitzbewegung (wörtlich: ruckartige Bewegung), die Änderung der klassischen Bahn des Elektrons aufgrund von Quantenoszillationen.

Ein weiterer Mechanismus, der nur den s-Zustand betrifft, ist der Lammschicht.

Totale Feinstrukturkorrektur

Der Gesamteffekt, der durch die Auflistung der drei verschiedenen Begriffe erhalten wird, ergibt sich aus:^[1]

${displaystyle Delta E=-{frac {m_{e}c^{2}(Zalpha )^{4}}{2n^{3}}}left({frac {1}{j {frac {1}{2 }}}}-{frac {3}{4n}}Nacht)}$

wahr ja die Summe Drehimpuls ist (j = wenn l = 0, anders j = l ± ½). Diese Formel wurde gefunden von Arnold Sommerfeld mit Hilfe von alte Quantentheorie, vor der modernen Formulierung der Quantenmechanik.