WikiDer > Группа Фишера

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу-)прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа Sп Кляйн четыре группы V Группа диэдра Dп Группа Quaternion Q Дициклическая группа Dicп
Дискретные группы Решетки Целые числа (Z) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2,Z) SL (2,Z) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологический и Группы Ли Соленоид Круг Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Евклидово E (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п) грамм2 F4 E6 E7 E8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

В области современной алгебры, известной как теория групп, то Группы Фишера три спорадические простые группы Fi₂₂, Fi₂₃ и Fi₂₄ представлен Бернд Фишер (1971, 1976).

3-транспозиционные группы

Группы Фишера названы в честь Бернд Фишер открывшим их при исследовании 3-транспозиционных групп. Это группы грамм со следующими свойствами:

• грамм порождается класс сопряженности элементов порядка 2, называемых «транспозициями Фишера» или 3-транспозициями.
• Произведение любых двух различных транспозиций имеет порядок 2 или 3.

Типичный пример 3-транспозиционной группы - это симметричная группа, где транспозиции Фишера на самом деле являются транспозициями. Симметрическая группа S_п может быть сгенерирован п − 1 транспозиции: (12), (23), ..., (п − 1, п).

Фишер смог классифицировать группы с 3 транспозициями, которые удовлетворяют определенным дополнительным техническим условиям. Группы, которые он нашел, в основном распадались на несколько бесконечных классов (помимо симметрических групп: определенные классы симплектических, унитарных и ортогональных групп), но он также обнаружил 3 очень большие новые группы. Эти группы обычно называют Fi₂₂, Fi₂₃ и Fi₂₄. Первые две из них - простые группы, а третья содержит простую группу Fi₂₄' из индекс 2.

Отправной точкой для групп Фишера является унитарная группа PSU₆(2), которую можно представить как группу Fi₂₁ в серии групп Фишера порядка 9,196,830,720 = 2¹⁵⋅3⁶⋅5⋅7⋅11. Собственно это двойная крышка 2.БП.₆(2) которая становится подгруппой новой группы. Это стабилизатор одной вершины в графе из 3510 (= 2⋅3³⋅5⋅13). Эти вершины идентифицируются как сопряженные 3-транспозиции в группе симметрии Fi₂₂ графа.

Группы Фишера названы по аналогии с большим Матье группы. В Fi₂₂ максимальный набор 3-транспозиций, все коммутирующие друг с другом, имеет размер 22 и называется базовый набор. Есть 1024 3-транспозиций, называемых анабазный которые не коммутируют ни с одним в конкретном базовом наборе. Любой из 2364, называемый гексадический, коммутирует с 6 основными. Наборы из 6 образуют S (3,6,22) Система Штейнера, группа симметрии которого M₂₂. Базовый набор порождает абелеву группу порядка 2¹⁰, которая продолжается в Fi₂₂ в подгруппу 2¹⁰: M₂₂.

Следующая группа Фишера идет относительно 2.Fi₂₂ как одноточечный стабилизатор для графика 31671 (= 3⁴⋅17⋅23) вершин, и рассматривая эти вершины как 3-транспозиции в группе Fi₂₃. 3-транспозиции входят в базовые наборы по 23, 7 из которых коммутируют с заданной внешней 3-транспозицией.

Следующий берет Fi₂₃ и рассматривает его как одноточечный стабилизатор для графика 306936 (= 2³⋅3³⋅7²⋅29) вершин, составляющих группу Fi₂₄. 3-транспозиции входят в базовые наборы по 24, восемь из которых коммутируют с заданной внешней 3-транспозицией. Группа Fi₂₄ не проста, но ее производная подгруппа имеет индекс 2 и является спорадической простой группой.

Обозначение

Для этих групп нет общепринятых обозначений. Некоторые авторы используют F вместо Fi (F₂₂Обозначения Фишера для них были M (22), M (23) и M (24) ′, что подчеркивало их тесную связь с тремя крупнейшимиМатье группы, М₂₂, М₂₃ И м₂₄.

Одним из источников путаницы является то, что Fi₂₄ иногда используется для обозначения простой группы Fi₂₄′, И иногда используется для обозначения полной группы с 3 транспонированием (которая в два раза больше).

Обобщенный чудовищный самогон

Конвей и Нортон в своей статье 1979 г. предположили, что чудовищный самогон не ограничивается монстром, но подобные явления могут быть обнаружены и у других групп. Лариса Куин и другие впоследствии обнаружили, что можно построить разложения многих Hauptmoduln (главных или главных модулей) из простых комбинаций размерностей спорадических групп.

Рекомендации

• Ашбахер, Михаэль (1997), 3-транспозиционные группы, Кембриджские трактаты по математике, 124, Издательство Кембриджского университета, Дои:10.1017 / CBO9780511759413, ISBN 978-0-521-57196-8, МИСТЕР 1423599 содержит полное доказательство теоремы Фишера.
• Фишер, Бернд (1971), "Конечные группы, порожденные 3-транспозициями. I", Inventiones Mathematicae, 13 (3): 232–246, Дои:10.1007 / BF01404633, ISSN 0020-9910, МИСТЕР 0294487 Это первая часть препринта Фишера о построении его групп. Остальная часть статьи не опубликована (по состоянию на 2010 г.).
• Фишер, Бернд (1976), Конечные группы, порожденные 3-транспозициями, Препринт, Математический институт, Уорикский университет
• Уилсон, Роберт А. (2009), Конечные простые группы, Тексты для выпускников по математике 251, 251, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-84800-988-2, ISBN 978-1-84800-987-5, Zbl 1203.20012
• Уилсон, Р. А. "Атлас представления конечных групп"
  https://web.archive.org/web/20171204142908/http://for.mat.bham.ac.uk/atlas/html/contents.html#spo