WikiDer > Полные и точные функторы

Full and faithful functors

В теория категорий, а верный функтор (соответственно полный функтор) это функтор то есть инъективный (соответственно сюръективный) при ограничении каждым набором морфизмы которые имеют заданный источник и цель.

Формальные определения

Ясно, пусть C и D быть (местно маленький) категории и разреши F : CD быть функтором от C к D. Функтор F индуцирует функцию

для каждой пары объектов Икс и Y в C. Функтор F как говорят

для каждого Икс и Y в C.

Характеристики

Точный функтор не обязательно должен быть инъективным для объектов или морфизмов. То есть два объекта Икс и Икс′ Может отображаться на один и тот же объект в D (вот почему образ полного и точного функтора не обязательно изоморфен C) и два морфизма ж : ИксY и ж′ : Икс′ → Y′ (С разными доменами / кодоменами) могут отображаться в один и тот же морфизм в D. Точно так же полный функтор не обязательно должен быть сюръективным для объектов или морфизмов. В D не в форме FX для некоторых Икс в C. Очевидно, что морфизмы между такими объектами не могут происходить из морфизмов в C.

Полный и точный функтор обязательно инъективен на объектах с точностью до изоморфизма. То есть, если F : CD является полным и точным функтором и тогда .

Примеры

  • В забывчивый функтор U : GrpНабор является точным, поскольку два гомоморфизма групп с одинаковыми областями и областями области равны, если они задаются одними и теми же функциями на базовых множествах. Этот функтор неполон, поскольку между базовыми наборами группы это не групповые гомоморфизмы. Категория с точным функтором Набор является (по определению) конкретная категория; в общем, этот забывчивый функтор неполон.
  • Функтор включения AbGrp полностью верен, так как Ab по определению полная подкатегория из Grp индуцированы абелевыми группами.

Обобщение на (∞, 1) -категории

Понятие «полный» или «верный» функтор не переводится в понятие (∞, 1) -категория. В (∞, 1) -категории отображения между любыми двумя объектами задаются пространством только с точностью до гомотопии. Поскольку понятия инъекции и сюръекции не являются гомотопически инвариантными понятиями (рассмотрим вложение интервала в действительные числа и отображение интервала в точку), у нас нет понятия «полный» или «точный» функтор. Однако мы можем определить функтор квазикатегорий как полностью верный если для каждого Икс и Y в C, карта это слабая эквивалентность.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Мак-Лейн (1971), стр. 15
  2. ^ а б Якобсон (2009), стр. 22
  3. ^ Мак-Лейн (1971), стр. 14

Рекомендации

  • Мак-Лейн, Сондерс (Сентябрь 1998 г.). Категории для рабочего математика (второе изд.). Springer. ISBN 0-387-98403-8.
  • Джейкобсон, Натан (2009). Базовая алгебра. 2 (2-е изд.). Дувр. ISBN 978-0-486-47187-7.