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Komposition ${displaystyle gcirc f}$ der Funktionen ${displaystyle f}$ und ${displaystyle g}$; ${displaystyle (gcirc f)(c)=#}$ beispielsweise.

In dem Mathematik ist Funktionszusammenstellung, oder Komposition, der Bau eines neuen Funktion von zwei oder mehr Funktionen, indem Sie diese nacheinander ausführen. Eine zweite oder nachfolgende Funktion wird auf das Ergebnis der vorhergehenden Funktion angewendet. Das Ergebnis der Zusammensetzung der Funktionen ${displaystyle f}$ und ${displaystyle g}$ heißt a zusammengesetzte Funktion. notiert als ${displaystyle gcirc f}$. Es gilt:

${Anzeigestil (gcirc f)(x)=g(f(x)).}$

Dies ist in der nebenstehenden Abbildung dargestellt. Man sieht zum Beispiel, dass die Funktion ${displaystyle f}$ zum Original ${displaystyle b}$ das Bild ${Anzeigestil f(b)=1}$ fügt hinzu. Die Funktion ${displaystyle g}$ zeigt das Original 1 auf ${Anzeigestil g(1)=}$ @. Die Zusammensetzung ${displaystyle gcirc f}$ also ergänzt das original ${displaystyle b}$ das Symbol:

${Anzeigestil (gcirc f)(b)=g(f(b))=g(1)=}$ @.

Formale Definition

Die Zusammensetzung der beiden Funktionen ${Anzeigestil f:X oder Y}$ und ${Anzeigestil g:Y oder Z}$, notiert als ${displaystyle gcirc f:X oder Z}$, ist für ${displaystyle xinX}$ definiert von:

${Anzeigestil (gcirc f)(x)=g(f(x))}$.

Die Notation ${displaystyle gcirc f}$ liest sich als "${displaystyle f}$ gefolgt von ${displaystyle g}$"aber auch wenn"${displaystyle g}$ nach dem ${displaystyle f}$". Beachten Sie, dass manchmal Leute ${displaystyle gcirc f(x)}$ Verschreibt ${Anzeigestil (gcirc f)(x)}$.

Eigenschaften

Assoziativität

Funktionszusammensetzung ist assoziativ, also für die Funktionen ${Anzeigestil f,g}$ und ${displaystyle h}$ zählt das:

${displaystyle (hcirc g)circ f=hcirc (gcirc f)}$,

schon seit

${Anzeigestil ((hcirc g)circ f)(x)=(hcirc g)(f(x))=h(g(f(x)))}$

und

${Anzeigestil (hcirc (gcirc f))(x)=h((gcirc f)(x))=h(g(f(x)))}$

Kommutativität

Die Reihenfolge der Funktionen ist natürlich wichtig, damit die Funktionszusammenstellung im Allgemeinen nicht kommutativ ist. Für die Funktionen ${displaystyle f:mathbb {R} oder mathbb {R}}$ und ${displaystyle g:mathbb {R} oder mathbb {R}}$ mit

${Anzeigestil f(x)=x^{2}}$ und ${Anzeigestil g(x)=x 1}$

gilt zum Beispiel:

${Anzeigestil (fcirc g)(x)=f(x 1)=(x 1)^{2}=x^{2} 2x 1}$

und

${displaystyle (gcirc f)(x)=g(x^{2})=x^{2} 1}$

Identische Bilder

Das identisches Bild verhält sich neutral mit Funktionszusammensetzung, für eine Funktion ${Anzeigestil f:A oder B}$ zählt das

${displaystyle fcirc mathrm {id} _{A}=f=mathrm {id} _{B}circ f}$,

wahr ${displaystyle mathrm {id} _{A}}$ und ${displaystyle mathrm {id} _{B}}$ die jeweiligen Identitäten auf den Sets ${Anzeigestil A}$ und ${Anzeigestil B}$ sein.

Injektivität, Surjektivität, Bijektivität

Wichtige Features, die eine Funktion ausmachen ${displaystyle f}$ besitzen kann sein

• Injektivität (${displaystyle f}$ stellt nicht mehr als einen dar Element von ${Anzeigestil A}$ aus auf einem bestimmten Element von ${Anzeigestil B}$),
• Surjektivität (${displaystyle f}$ zeigt mindestens ein Element ${Anzeigestil A}$ aus bei einem bestimmten Element von ${Anzeigestil B}$),
• Bijektion (${displaystyle f}$ zeigt genau ein Element von ${Anzeigestil A}$ aus auf einem bestimmten Element von ${Anzeigestil B}$).

Jede dieser Eigenschaften gilt auch für die zusammengesetzte Funktion, also:

• die Funktionszusammensetzung injektiver Funktionen ist injektiv.
• die Funktionszusammensetzung surjektiver Funktionen ist surjektiv.
• die Funktionszusammensetzung bijektiver Funktionen ist bijektiv.

Umgekehrt, wenn eine Funktionskomposition ${displaystyle gcirc f}$

• ist injektiv, dann ${displaystyle f}$ injektiv.
• ist surjektiv, dann ${displaystyle g}$ surjektiv,
• ist dann bijektiv ${displaystyle f}$ injektiv und ${displaystyle g}$ surjektiv.

Siehe auch

• Zusammengesetzte Beziehung