WikiDer > Kommutativität

Allgemeine Verwendung

Der Begriff "kommutativ" wird in verschiedenen Kontexten verwendet.^[1][2]

1 Eins binäre Operation${Anzeigestil *}$ auf einen Sammlung${Anzeigestil S}$ wird kommutativ benannt wie für alle Elemente ${Anzeigestil x,yin S}$ gilt:

${Anzeigestil x*y=y*x}$

Eine Operation, die diese Eigenschaft nicht erfüllt, heißt nicht kommutativ erwähnt

2. A binäre Funktion${displaystyle f:A imes A oder B}$ wird kommutativ, oder symmetrisch, genannt, wie für alle Elemente ${Anzeigestil x,yin A}$ gilt:

${Anzeigestil f(x,y)=f(y,x)}$

Im Allgemeinen sagt man, dass zwei Elemente ${Anzeigestil x}$ und ${Anzeigestil y}$pendeln unter der Operation ${Anzeigestil *}$, wenn sie die obige Identität erfüllen. Die Operation ist kommutativ, wenn zwei beliebige Elemente miteinander kommutieren.

Zentralisierer

Das Zentralisierer eines Elements ${Anzeigestil xin S}$ besteht aus den Elementen von ${Anzeigestil S}$ Der eine mit ${Anzeigestil x}$ pendeln. Allgemeiner: der Zentralisierer einer Teilmenge ${Anzeigestil D}$ von ${Anzeigestil S}$ enthält die Elemente von ${Anzeigestil S}$ die mit allen Elementen von ${Anzeigestil D}$ pendeln.

Beispiele

Kommutatives Handeln im Alltag

• Bei der Rückkehr Kleingeld wir verwenden die Kommutativität der Addition. Schließlich ist es egal, in welcher Reihenfolge wir die Coins zurückgeben, egal in welcher Reihenfolge sie zurückgegeben werden, die Coins summieren sich immer auf den gleichen Betrag.

Kommutative Operationen in der Mathematik

Die bekanntesten Beispiele für binäre kommutative Operationen sind summieren und multiplizieren der natürlichen Zahlen:

${Anzeigestil a b = b a}$; Beispiel: 5 2 = 7 = 2 5

${displaystyle a imes b=b imes a}$; Beispiel: 5 × 6 = 30 = 6 × 5

Andere kommutative binäre Operationen umfassen Addition und Multiplikation von Real und komplexe Zahlen, Hinzufügen von Vektoren und der Innenprodukt.

Nichtkommutative Operationen in der Mathematik

Beispiele für Operationen, die nicht kommutativ sind:

• subtrahieren: 5 – 2 ist nicht gleich 2 – 5
• Teilen: 6/3 (= 2) ist nicht gleich 3/6 (= ½)
• Zusammensetzung von lineare Operatoren zwischen Vektorräume, wie Matrix-Multiplikation.

Kommutator

Das Gruppentheorie und die Theorie von Ringe jeder hat ein anderes Verständnis von Kommutator, ist dies ein Element, das intuitiv den Grad anzeigt, in dem ${Anzeigestil x}$ und ${Anzeigestil y}$nicht pendeln.

Kommutatives Diagramm

In dem Kategorientheorie ist ein Diagrammkommutativ wenn zwei Kompositionen von Morphismen im Diagramm, die dieselbe Domäne und denselben Zweck haben, sind gleich.

Fußnoten

Siehe auch

• Assoziativität (Mathematik)
• Verteilung