WikiDer > Габриэль Хорн - Википедия

Gabriels Horn - Wikipedia
Трехмерная иллюстрация рога Габриэля.

Рог Габриэля (также называемый Труба торричелли) является частным геометрический фигура с бесконечным площадь поверхности но конечный объем. Название относится к христианской традиции, которая идентифицирует архангела. Габриэль как ангел, который трубит в рог, чтобы объявить День суда, связывая божественное, или бесконечный, с конечным. Свойства этой фигуры впервые изучил итальянский физик и математик. Евангелиста Торричелли в 17 веке.

Математическое определение

График .

Рог Габриэля формируется путем взятия график из

с домен и вращающийся это в три размеры о Икс-ось. Открытие было сделано с использованием Принцип Кавальери до изобретения исчисление, но сегодня исчисление можно использовать для расчета объема и площади поверхности рога между Икс = 1 и Икс = а, куда а > 1. Используя интеграцию (см. Твердая революция и Поверхность революции для подробностей) можно найти объем V и площадь поверхности А:

Значение а может быть сколь угодно большим, но из уравнения видно, что объем части рупора между Икс = 1 и Икс = а никогда не превысит π; однако он постепенно приближается к π в качестве а увеличивается. Математически объем подходы π в качестве а подходы бесконечность. С использованием предел обозначение исчисления:

Приведенная выше формула площади поверхности дает нижнюю границу площади как 2π раз натуральный логарифм из а. Здесь нет верхняя граница для натурального логарифма а, так как а приближается к бесконечности. Это означает, что в данном случае рупор имеет бесконечную площадь поверхности. То есть,

Очевидный парадокс

Когда были обнаружены свойства рога Габриэля, тот факт, что вращение бесконечно большого участка ху-самолет о Икс- ось, образующая объект конечного объема, считалась парадокс. Пока раздел лежит в ху-плоскость имеет бесконечную площадь, любое другое параллельное ей сечение имеет конечную площадь. Таким образом, объем, рассчитываемый по «взвешенной сумме» сечений, конечен.

Другой подход - рассматривать рог как стопку дисков с уменьшающимся радиусы. Сумма радиусов дает гармонический ряд, уходящий в бесконечность. Однако правильный расчет - это сумма их квадратов. У каждого диска есть радиус р = 1/Икс и площадь πр2 или же π/Икс2. Сериал 1/Икс расходится, но 1/Икс2 сходится. В общем, для любого реального ε > 0, 1/Икс1+ε сходится.

Кажущийся парадокс стал частью спора о природе бесконечности, в котором участвовали многие ключевые мыслители того времени, включая Томас Гоббс, Джон Уоллис и Галилео Галилей.[1]

Аналогичное явление применимо к длинам и площадям на плоскости. Площадь между кривыми 1/Икс2 и -1/Икс2 от 1 до бесконечности конечно, но длины двух кривых явно бесконечны.

Парадокс художника

Поскольку рог имеет конечный объем, но бесконечную площадь поверхности, возникает очевидный парадокс, что рог можно было заполнить конечным количеством краски, но этой краски было бы недостаточно для покрытия его внутренней поверхности. Парадокс разрешается осознанием того, что конечное количество краски на самом деле может покрыть бесконечную площадь поверхности - она ​​просто должна становиться тоньше с достаточно высокой скоростью (во многом как серия 1/2N становится меньше достаточно быстро, чтобы его сумма была конечной). В том случае, когда рог заполнен краской, это разбавление достигается за счет увеличения диаметра горловины рожка.

Converse

Оборотная сторона рога Габриэля - поверхность вращения, имеющая конечный площадь поверхности, но бесконечный объем - не может возникнуть при вращении непрерывной функции на замкнутом множестве:

Теорема

Позволять ж : [1,∞) → [0,∞) - непрерывно дифференцируемая функция. Написать S для твердый революционный графика у = ж(Икс) о Икс-ось. Если площадь поверхности S конечно, то и объем тоже.

Доказательство

Поскольку площадь боковой поверхности А конечно, предел высшего:

Следовательно, существует т0 так что супремум Как дела{ж(Икс) | Икст0} конечно. Следовательно,

M = sup {ж(Икс) | Икс ≥ 1} должен быть конечным, поскольку ж это непрерывная функция, откуда следует, что ж ограничена на интервале [1,∞).

Наконец, объем:

Следовательно: если область А конечно, то объем V также должно быть конечным.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Хэвил, Джулиан (2007). В тупике !: математическое доказательство неправдоподобных идей. Издательство Принстонского университета. стр.82–91. ISBN 0-691-12056-0.

дальнейшее чтение

внешняя ссылка