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Gamma-matrices

Gamma-Matrizen sein Anti-Pendelverkehr 4x4 Matrizen ${Anzeigestil Gamma ^{0}, Gamma ^{1}, Gamma ^{2}, Gamma ^{3}}$ die die Beziehungen befriedigen

{displaystyle gamma ^{0}gamma ^{0}=I,quad gamma ^{k}gamma ^{k}=-I,quad k=1,2,3}

und für ${displaystyle mu eq u }$

{displaystyle gamma ^{mu}gamma ^{u}=-gamma ^{u}gamma ^{mu},quad mu ,u =0,1,2,3}

wahr ${Anzeigestil I}$ das 4x4Einheitenmatrix ist. Diese Beziehungen können zusammengefasst werden als

{displaystyle gamma ^{mu }gamma ^{u } gamma ^{u }gamma ^{mu }=2g^{mu u }I}

.

${displaystyle g^{mu u }}$ ist der metrische Tensor

{displaystyle g^{mu u }={ egin{pmatrix}1&0&0&0/0&-1&0&0/0&0&-1&0/0&0&0&-1end{pmatrix}}}

.

Es gibt viele Möglichkeiten, diese Beziehungen zu befriedigen.

Üblicherweise schreibt man das Produkt der vier Gammamatrizen als

{displaystyle gamma ^{5}:=igamma ^{0}gamma ^{1}gamma ^{2}gamma ^{3}}

.

Die Gammamatrizen finden hauptsächlich Anwendung in der relativistischen Quantenfeldtheorie, bei der Beschreibung der elektromagnetischen Wechselwirkung von Fermionen. Das Dirac-Gleichung kann in relativistische Einheiten geschrieben werden als

{displaystyle (mathrm {i} gamma ^{mu}partiell _{mu}-m)psi =0}

bei welchem ${Anzeigestil psi = psi(x^{mu})}$ die (relativistische) Wellenfunktion ist, ${displaystyle partiell _{mu}=partial /partial x^{mu},;x^{0}=t,quad m}$ ist die Masse des Fermions, und die Einstein-Summenkonvention verwendet wurde (Summation über den Index ${Anzeigestil mu}$ ).