WikiDer > Геодезический многогранник

Geodesic polyhedron
3 конструкции на {3,5+}6,0
Геодезический икосаэдрический многогранник example.png
Геодезический икосаэдрический многогранник example2.png
Геодезический икосаэдрический многогранник example5.png
Икосаэдр и связанные многогранники симметрии могут использоваться для определения высокого геодезического многогранника путем разделения треугольных граней на меньшие треугольники и проецирования всех новых вершин на сферу. Многоугольные грани более высокого порядка можно разделить на треугольники, добавив новые вершины с центром на каждой грани. Новые лица на сфере не равносторонние треугольники, но они примерно равны по длине ребра. Все вершины имеют валентность-6, за исключением 12 вершин, которые имеют валентность 5.
Строительство {3,5+}3,3
Геодезический додекаэдрический многогранник example.png
Геодезическое подразделение также может быть выполнено с помощью увеличенного додекаэдра, разделив пятиугольники на треугольники с центральной точкой и разделив их.
Строительство {3,5+}6,3
Геодезический икосаэдрический многогранник example3.png
Киральные многогранники с многоугольными гранями более высокого порядка могут быть дополнены центральными точками и новыми треугольными гранями. Затем эти треугольники можно разделить на более мелкие треугольники для новых геодезических многогранников. Все вершины имеют валентность-6, кроме 12 с центром в исходных вершинах, которые имеют валентность 5.
Построение смешанной геодезической формы
Геодезический икосаэдрический многогранник example4.png
Геодезическое подразделение также может быть выполнено с помощью увеличенных квадратных граней, хотя в результате треугольники будут рядом с прямоугольными, а не равносторонними. Этот ромбикосододекаэдр Пример имеет от 4 до 7 треугольников вокруг каждой вершины.

А геодезический многогранник выпуклый многогранник из треугольников. У них обычно есть икосаэдрическая симметрия, такое, что у них есть 6 треугольников в вершине, кроме 12 вершин, у которых есть 5 треугольников. Они двойной соответствующих Многогранники Гольдберга в основном с шестиугольными гранями.

Геодезические многогранники являются хорошим приближением к сфере для многих целей и появляются во многих различных контекстах. Самым известным может быть геодезические купола разработано Бакминстер Фуллер, именем которых названы геодезические многогранники. Геодезические сетки используется в геодезия также имеют геометрию геодезических многогранников. В капсиды некоторых вирусы имеют форму геодезических многогранников,[1][2] и фуллерен молекулы имеют форму Многогранники Гольдберга. Геодезические многогранники доступны как геометрические примитивы в Программный пакет Blender для 3D-моделирования, который называет их икосферы: они являются альтернативой УФ-сфера, имеющий более регулярное распределение вершин, чем УФ-сфера.[3][4] В Построение Гольдберга – Кокстера. является расширением понятий, лежащих в основе геодезических многогранников.

Геодезические обозначения

В Магнус Веннингерс Сферические модели, многогранники заданы геодезические обозначения в виде {3,q+}б,c, куда {3,q} это Символ Шлефли для правильного многогранника с треугольными гранями, а q-валентность вершины. В + символ указывает на валентность увеличиваемых вершин. б,c представляют собой описание подразделения, где 1,0 представляет базовую форму. Существует 3 класса симметрии форм: {3,3+}1,0 для тетраэдр, {3,4+}1,0 для октаэдр, и {3,5+}1,0 для икосаэдр.

Двойное обозначение для Многогранники Гольдберга является {q+,3}б,c, с вершинами валентности-3, с q-угольные и шестиугольные грани. Существует 3 класса симметрии форм: {3 +, 3}1,0 для тетраэдр, {4+,3}1,0 для куб, и {5 +, 3}1,0 для додекаэдр.

Ценности для б,c делятся на три класса:

I класс (b = 0 или c = 0): {3,q+}б,0 или же {3,q+}0,б представляют собой простое разделение с исходными ребрами, разделенными на б суб-края.
II класс (b = c): {3,q+}б,б легче увидеть из двойственный многогранник {q, 3} с q-угольные грани сначала разбиваются на треугольники с центральной точкой, а затем все ребра разбиваются на б суб-края.
III класс: {3,q+}б,c имеют ненулевые неравные значения для б,c, и существуют в киральных парах. За б > c мы можем определить его как правую форму, и c > б левосторонняя форма.

Подразделения класса III здесь не просто совпадают с исходными краями. Подсетки можно извлечь, посмотрев на треугольная черепица, расположив большой треугольник поверх вершин сетки и пешеходных дорожек из одной вершины б шаги в одном направлении и поворот по часовой или против часовой стрелки, а затем другой c шаги к следующей первичной вершине.

Например, икосаэдр составляет {3,5+}1,0, и пентакид додекаэдр, {3,5+}1,1 рассматривается как правильный додекаэдр с пятиугольными гранями, разделенными на 5 треугольников.

Первичная грань подразделения называется главный многогранный треугольник (PPT) или структура разбивки. Вычисление одного PPT позволяет создать всю фигуру.

В частота геодезического многогранника определяется суммой ν = б + c. А гармонический является подчастотой и может быть любым целым делителем ν. Второй класс всегда имеет гармонику 2, так как ν = 2б.

В число триангуляции является Т = б2 + до н.э + c2. Это число, умноженное на количество исходных граней, показывает, сколько треугольников будет у нового многогранника.

ППТ с частотой 8
Геодезические главные многогранные треугольники frequency8.png

Элементы

Количество элементов определяется числом триангуляции . Два разных геодезических многогранника могут иметь одинаковое количество элементов, например, {3,5+}5,3 и {3,5+}7,0 оба имеют T = 49.

СимметрияИкосаэдрВосьмигранныйТетраэдр
ОснованиеИкосаэдр
{3,5} = {3,5+}1,0
Октаэдр
{3,4} = {3,4+}1,0
Тетраэдр
{3,3} = {3,3+}1,0
ИзображениеИкосаэдрОктаэдрТетраэдр
Символ{3,5+}б,c{3,4+}б,c{3,3+}б,c
Вершины
Лица
Края

Строительство

Геодезические многогранники строятся путем разделения граней более простых многогранников и последующего проецирования новых вершин на поверхность сферы. Геодезический многогранник имеет прямые края и плоские грани, которые приближают сферу, но его также можно сделать как сферический многогранникмозаика на сфера) с истинным геодезический изогнутые края на поверхности сферы и сферический треугольник лица.

Конвейты3I = (kt) I(k) tIktI
ИзображениеПлоский многогранник Конвея ktI.pngМногогранник Конвея flat2 ktI.pngМногогранник Конвея K6k5tI.pngКисед усеченный икосаэдр spherical.png
Форма3-х частотный
подразделяется икосаэдр
Кис усеченный икосаэдрГеодезический многогранник (3,0)Сферический многогранник

В этом случае {3,5+}3,0, с частотой и число триангуляции , каждая из четырех версий многоугольника имеет 92 вершины (80 - при соединении шести ребер и 12 - при соединении пяти), 270 ребер и 180 граней.

Связь с многогранниками Гольдберга

Геодезические многогранники двойственны многогранникам Гольдберга. Многогранники Гольдберга также связаны тем, что kis оператор (разделение граней на треугольники с помощью центральной точки) создает новые геодезические многогранники, и усечение вершины геодезического многогранника создают новый многогранник Гольдберга. Например, Goldberg G (2,1) целованный, становится {3,5+}4,1, а усечение становится G (6,3). И аналогично {3,5+}2,1 усеченный становится G (4,1), и что целованный становится {3,5+}6,3.

Примеры

I класс

Геодезические многогранники I класса
Частота(1,0)(2,0)(3,0)(4,0)(5,0)(6,0)(7,0)(8,0)(м,0)
Т1491625364964м2
Лицо
треугольник
Разделенный треугольник 01 00.svgРазделенный треугольник 02 00.svgРазделенный треугольник 03 00.svgРазделенный треугольник 04 00.svgРазделенный треугольник 05 00.svgРазделенный треугольник 06 00.svgРазделенный треугольник 07 00.svgРазделенный треугольник 08 00.svg...
ИкосаэдрIcosahedron.svgPentakis icosidodecahedron.pngМногогранник Конвея K6k5tI.pngМногогранник Конвея k6k5at5daD.pngИкосаэдр subdivision5.pngМногогранник Конвея kdkt5daD.pngКонвей dwrwD.pngКонвей dcccD.pngболее
ВосьмигранныйOctahedron.svgТетракис cuboctahedron.pngОктаэдрический геодезический многогранник 03 00.svgОктаэдрический геодезический многогранник 04 00.svgОктаэдрический геодезический многогранник 05 00.svgОктаэдрический геодезический многогранник 06 00.svgОктаэдрический геодезический многогранник 07 00.svgОктаэдрический геодезический многогранник 08 00.svgболее
ТетраэдрTetrahedron.svgДвойной скошенный тетраэдр.pngТетраэдрический геодезический многогранник 03 00.svgТетраэдрический геодезический многогранник 04 00.svgТетраэдрический геодезический многогранник 05 00.svgТетраэдрический геодезический многогранник 06 00.svgТетраэдрический геодезический многогранник 07 00.svgТетраэдрический геодезический многогранник 08 00.svgболее

II класс

Геодезические многогранники класса II
Частота(1,1)(2,2)(3,3)(4,4)(5,5)(6,6)(7,7)(8,8)(м,м)
Т3122748751081471923м2
Лицо
треугольник
Разделенный треугольник 01 01.svgРазделенный треугольник 02 02.svgРазделенный треугольник 03 03.svgРазделенный треугольник 04 04.svgРазделенный треугольник 05 05.svgРазделенный треугольник 06 06.svgРазделенный треугольник 07 07.svgРазделенный треугольник 08 08.svg...
ИкосаэдрМногогранник Конвея kD.pngМногогранник Конвея kt5daD.pngМногогранник Конвея kdktI.pngМногогранник Конвея k5k6akdk5aD.pngКонвей u5zI.pngМногогранник Конвея dcdktkD.pngКонвей dwrwtI.pngКонвей dccctI.pngболее
ВосьмигранныйTetrakishexahedron.jpgОктаэдрический геодезический многогранник 05 05.svgболее
ТетраэдрTriakistetrahedron.jpgболее

III класс

Геодезические многогранники III класса
Частота(2,1)(3,1)(3,2)(4,1)4,2)(4,3)(5,1)(5,2)(м,п)
Т713192128373139м2+млн+п2
Лицо
треугольник
Разделенный треугольник 01 02.svgРазделенный треугольник 01 03.svgРазделенный треугольник 02 03.svgРазделенный треугольник 01 04.svgРазделенный треугольник 02 04.svgРазделенный треугольник 03 04.svgРазделенный треугольник 01 05.svgРазделенный треугольник 02 05.svg...
ИкосаэдрМногогранник Конвея K5sI.pngМногогранник Конвея u5I.pngГеодезический многогранник 3 2.pngМногогранник Конвея K5k6st.pngМногогранник Конвея dcwdI.pngболее
ВосьмигранныйМногогранник Конвея dwC.pngболее
ТетраэдрМногогранник Конвея dwT.pngболее

Сферические модели

Магнус Веннингеркнига Сферические модели исследует эти подразделения в строительстве модели многогранников. После объяснения конструкции этих моделей он объяснил свое использование треугольных сеток для выделения узоров, при этом треугольники окрашены или исключены в моделях.[5]

Пример модели
Порядок в хаосе Магнус Веннингер.jpg
Художественная модель, созданная отцом Магнус Веннингер называется Порядок в хаосе, представляющий киральное подмножество треугольников 16-частотного икосаэдра геодезическая сфера, {3,5+}16,0
Магнус Веннингер Order in Chaos virtual model.png
Виртуальная копия, показывающая икосаэдрическая симметрия большие круги. Шестикратная симметрия вращения иллюзорна, не существует на самом икосаэдре.
Магнус Веннингер Орден в Хаосе virtual model2.png
Одиночный икосаэдрический треугольник с 16-частным делением

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Каспар, Д. Л. Д .; Клуг, А. (1962). «Физические принципы построения обычных вирусов». Холодная весна Харб. Symp. Quant. Биол. 27: 1–24. Дои:10.1101 / sqb.1962.027.001.005. PMID 14019094.
  2. ^ Кокстер, H.S.M. (1971). «Макромолекулы вирусов и геодезические купола». В Бутчере, Дж. С. (ред.). Спектр математики. Издательство Оксфордского университета. С. 98–107.
  3. ^ "Сетчатые примитивы", Справочное руководство Blender, версия 2.77, получено 2016-06-11.
  4. ^ «В чем разница между УФ-сферой и икосферой?». Блендер Обмен стеком.
  5. ^ Сферические модели, стр. 150–159.
  • Роберт Уильямс Геометрическая основа естественной структуры: справочник по дизайну, 1979, стр. 142–144, рис. 4-49,50,51 Кастеры из 12 сфер, 42 сфер, 92 сфер.
  • Энтони Пью, Многогранники: визуальный подход, 1976, Глава 6. Геодезические многогранники Р. Бакминстера Фуллера и родственные им многогранники.
  • Веннингер, Магнус (1979), Сферические модели, Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-29432-4, МИСТЕР 0552023, заархивировано из оригинал 4 июля 2008 г. Перепечатано Dover 1999 ISBN 978-0-486-40921-4
  • Эдвард С. Попко, Разделенные сферы: геодезические и упорядоченное деление сферы (2012) Глава 8 Схемы подразделения, 8.1 Геодезическая нотация, 8.2 Число триангуляции 8.3 Частота и гармоники 8.4 Симметрия сетки 8.5 Класс I: Альтернативы и броды 8.5.1 Определение главного треугольника 8.5.2 Контрольные точки краев