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Geordende steekproef

In dem Statistik sind die größengeordneten Elemente von a Stichprobe ${displaystyle X_{1},ldots ,X_{n}}$ von kontinuierliche stochastische Variablen, die sich gegenseitig unabhängig sein, aber nicht unbedingt gleich aufgeteilt, das bestellte Probe, normalerweise notiert als

{displaystyle X_{(1)}leq ldots leq X_{(n)}}

.

Mit ${Displaystil X_{(k)}}$ das Probenelement wird mit bezeichnet Rangnummer ${displaystyle k}$ . Auch die Notation ${displaystyle X_{k:n}}$ verwendet, die auch die Stichprobengröße anzeigt. Wenn es keine gibt Knoten sind also:

{displaystyle X_{(k)}=X_{i}Longleftrightarrow R_{i}=k}

wenn ${displaystyle x_{1},ldots ,x_{n}}$ ist das Ergebnis der Stichprobe, werden die bestellten Ergebnisse aufgezeichnet als:

{displaystyle x_{(1)}leq ldots leq x_{(n)}}

Die Elemente in der geordneten Stichprobe sind stochastisch abhängig und jedes der Elemente ist a Abtastfunktion des Originalmusters. Bestimmtes,

{displaystyle X_{(1)}=min(X_{1},ldots ,X_{n})}

und

{Displaystil X_{(n)}=max(X_{1},ldots,X_{n})}

Verteilung

In den meisten Fällen, gleich aufgeteilt betrachteten Variablen, die daher a zufällige Probe Formen.

Im allgemeinen Fall ist die Verteilung komplizierter und wird durch das Bapat-Beg-Theorem angegeben, das 1989 von Bapat und Beg veröffentlicht wurde. Die Autoren lieferten keinen Beweis, aber 1994 lieferte Hande einen einfachen Beweis des Theorems.

Zufällige Probe

Für eine Zufallsstichprobe von ${Anzeigestil X,}$ also für voneinander unabhängige und gleich geteilte ${Anzeigestil X}$ -en, ist die gleichzeitige Verteilung für ${displaystyle y_{1}leq y_{2}leq ldots leq y_{n}}$ gegeben durch die Wahrscheinlichkeitsdichte:

{displaystyle f_{X_{(1)},ldots ,X_{(n)}}(y_{1},ldots ,y_{n})=n!prod_{k}f_{X}(y_{k} )}

Die Verteilungsfunktion von ${Displaystil X_{(k)}}$ wird gegeben von:

{Anzeigestil F_{X_{(k)}}(x)=P(X_{(k)}leq x)=}

{displaystyle =sum _{m=k}^{n}P(X_{(1)}leq x,ldots ,X_{(m)}leq x,X_{(m 1)}>x,ldots ,X_{ (n)}>x)}

{displaystyle =sum _{m=k}^{n}{ binom {n}{m}}P(X_{1}leq x,ldots ,X_{m}leq x,X_{m 1}>x,ldots ,X_{n}>x)}

{displaystyle =sum _{m=k}^{n}{ binom {n}{m}}left(F_{X}(x)ight)^{m}left(1-F_{X}(x)ight )^{nm}}

,

weil jeder von ${displaystyle { binom {n}{m}}}$ Veranstaltungen

{displaystyle {X_{i_{1}}leq x,ldots ,X_{i_{m}}leq x,X_{i_{m 1}}>x,ldots ,X_{i_{n}}>x}}

hat die gleiche Chance wie

{displaystyle {X_{1}leq x,ldots ,X_{m}leq x,X_{m 1}>x,ldots ,X_{n}>x}}

Die Dichte von ${Displaystil X_{(k)}}$ ist:

{displaystyle f_{X_{(k)}}(x)=n{ binom {n-1}{k-1}}links(F_{X}(x)ight)^{k-1}f_{X} (x)(1-links(F_{X}(x)ight))^{nk}}

Letztendlich:

{displaystyle f_{X_{(k)}}(x){m {d}}xapprox P(X_{(k)}in [x,x {m {d}}x)))=}

{displaystyle =n{ binom {n-1}{k-1}}P(X_{1}leq x,ldots ,X_{k-1},X_{k}in [x,x {m {d}} x)),X_{k 1}>x,ldots ,X_{n}>x)}

{displaystyle =n{ binom {n-1}{k-1}}F_{X}(x)cdot ldots cdot F_{X}(x)f_{X}(x){m {d}}x(1 -F_{X}(x))cdot ldots cdot (1-F_{X}(x))}

Dieses Ergebnis erhält man auch durch Berechnung der Ableitung von ${Anzeigestil F_{X_{(k)}}(x)}$ .

{Anzeigestil f_{X_{(k)}}(x)=F'_{X_{(k)}}(x)=}

{displaystyle =f_{X}(x)left(sum _{m=k}^{n}{ binom {n}{m}}mleft(F_{X}(x)ight)^{m-1}links (1-F_{X}(x)ight)^{nm}-Summe _{m=k}^{n-1}{ binom {n}{m}}(nm)left(F_{X}(x )ight)^{m}links(1-F_{X}(x)ight)^{nm-1}ight)}

{displaystyle =f_{X}(x)left(sum _{m=k}^{n}{ binom {n}{m}}mleft(F_{X}(x)ight)^{m-1}links (1-F_{X}(x)ight)^{nm}-Summe _{m=k 1}^{n}{ binom {n}{m-1}}(nm 1)links(F_{X} (x)ight)^{m-1}links(1-F_{X}(x)ight)^{nm}ight)}

{displaystyle =f_{X}(x)left(nsum _{m=k}^{n}{ binom {n-1}{m-1}}left(F_{X}(x)ight)^{m -1}links(1-F_{X}(x)ight)^{nm}-nsum _{m=k 1}^{n}{ binom {n-1}{m-1}}links(F_{ X}(x)ight)^{m-1}links(1-F_{X}(x)ight)^{nm}ight)}

{displaystyle =nf_{X}(x){ binom {n-1}{k-1}}links(F_{X}(x)ight)^{k-1}links(1-F_{X}(x )acht)^{nk}}

Minimum und Maximum

Für das Minimum gilt also:

{displaystyle F_{X_{(1)}}(x)=1-links(1-F_{X}(x)ight)^{n}}

und

{displaystyle f_{X_{(1)}}(x)=nleft(1-F_{X}(x)ight)^{n-1}f_{X}(x)}

,

und für das Maximum:

{displaystyle F_{X_{(n)}}(x)=links(F_{X}(x)ight)^{n}}

und

{displaystyle f_{X_{(n)}}(x)=nlinks(F_{X}(x)ight)^{n-1}f_{X}(x)}

Gleichmäßige Verteilung bei (0.1)

Für eine Zufallsstichprobe ${displaystyle U_{1},ldots ,U_{n}}$ von dem gleichmäßige Verteilung auf dem Intervall (0,1) ist:

{displaystyle f_{U_{(k)}}(u)=n{ binom {n-1}{m-1}}u^{k-1}(1-u)^{nk},quad(uin( 0,1))}

Dies bedeutet, dass ${Displaystil U_{(k)}}$ ein Betaverteilung hat mit Parametern ${displaystyle k}$ und ${displaystyle n1-k}$ :

{Displaystil U_{(k)}sim B(k,n 1-k)}

Satz von Bapat-Beg

Das stochastische Variablen ${displaystyle X_{1},ldots ,X_{n}}$ sind voneinander unabhängig und haben Verteilungsfunktionen ${displaystyle F_{i}=F_{X_{i}},i=1,ldots,n}$ . Die simultane Verteilungsfunktion der Elemente ${displaystyle X_{(r_{1})}leq X_{(r_{2})}leq ldots leq X_{(n_{k})}}$ des bestellten Musters wird verwendet für ${displaystyle x_{1}$ gegeben von:

{displaystyle F_{X_{(r_{1})},X_{(r_{2})},ldots ,X_{(r_{k})}}(x_{1},x_{2},ldots ,x_ {k})=P(X_{(r_{1})}leq x_{1},X_{(r_{2})}leq x_{2},ldots ,X_{(r_{k})}leq x_ {k})=}

{displaystyle =sum _{n_{k}=r_{k}}^{n}ldots sum _{n_{2}=r_{2}}^{n_{3}},sum _{n_{1}= r_{1}}^{n_{2}}{frac {P_{n_{1},ldots,n_{k}}(x_{1},ldots,x_{k})}{n_{1}!( n_{2}-n_{1})!ldots(n-n_{k})!}}}

,

in welchem

{displaystyle P_{n_{1},ldots ,n_{k}}(x_{1},ldots ,x_{k})=}

{displaystyle =operatorname {pro} left({ egin{bmatrix}F_{11}ldots F_{11}&F_{12}-F_{11}ldots F_{12}-F_{11}&ldots &F_{1k}-F_{ 1,k-1}ldots F_{1k}-F_{1,k-1}&1-F_{1k}ldots 1-F_{1k}/F_{21}ldots F_{21}&F_{22}-F_{ 21}ldots F_{22}-F_{21}&ldots &F_{2k}-F_{2,k-1}ldots F_{2k}-F_{2,k-1}&1-F_{2k}ldots 1-F_ {2k}/vdots &vdots &&vdots /underbrace {F_{n1}ldots F_{n1}} _{n_{1}}&underbrace {F_{n2}-F_{n1}ldots F_{n2}-F_{n1}} _ {n_{2}-n_{1}}&ldots &underbrace {F_{nk}-F_{n,k-1}ldots F_{nk}-F_{n,k-1}} _{n_{k}-n_ {k-1}}&Unterspanne {1-F_{nk}ldots 1-F_{nk}} _{n-n_{k}}end{bmatrix}}ight)}

das dauerhaft ist von der genannten Matrix mit ${Anzeigestil F_{rm}=F_{r}(x_{m})}$ und unter den geschweiften Klammern befinden sich die Zahlen, die die Anzahl der Spalten angeben.

Beweise

Definieren

{displaystyle N_{i}=|{j|X_{j}leq x_{i}}|:i=1,2,ldots ,k}

,

als

{displaystyle P(X_{(r_{1})}leq x_{1},ldots ,X_{(r_{k})}leq x_{k})=P(r_{1}leq N_{1},r_ {2}leq N_{2},ldots ,r_{k}leq N_{k})=}

{displaystyle =sum _{n_{k}=r_{k}}^{n}sum _{n_{k-1}=r_{k-1}}^{n_{k}}ldots sum _{n_{ 2}=r_{2}}^{n_{3}}Summe _{n_{1}=r_{1}}^{i_{2}}P(N_{1}=n_{1},N_{2 }=n_{2},ldots ,N_{k}=n_{k})}

Darin, mit ${Displaystil-Sigma}$ über alle Permutationen der Zahlen laufen ${displaystyle 1,ldots,n}$ , und für die Einheitlichkeit der Formel ${displaystyle x_{0}=-infty ,n_{0}=0,x_{k 1}= infty }$ und ${displaystyle n_{k 1}=n}$ :

{Anzeigestil P(N_{1}=n_{1},N_{2}=n_{2},ldots ,N_{k}=n_{k})=}

{displaystyle ={frac {1}{n_{1}!(n_{2}-n_{1})!ldots (n-n_{k})!}}summe _{sigma }P(X_{sigma (1 )}leq x_{1},ldots ,X_{sigma (n_{1})}leq x_{1},x_{1}

{displaystyle ={frac {1}{n_{1}!(n_{2}-n_{1})!ldots (n-n_{k})!}}sum _{sigma }prod _{j=1} ^{k 1}prod _{i_{j}=n_{j-1} 1}^{n_{j}}links(F_{sigma (i_{j})}(x_{j})-F_{sigma (i_{j})}(x_{j-1})Nacht)}

Und:

{displaystyle sum _{sigma }prod _{j=1}^{k 1}prod _{i_{j}=n_{j-1} 1}^{n_{j}}links(F_{sigma (i_{ j})}(x_{j})-F_{sigma (i_{j})}(x_{j-1})ight)=P_{n_{1},ldots ,n_{k}}(x_{1 },ldots ,x_{k})}

Für eine Zufallsstichprobe beispielsweise ergibt der Satz für die gesamte geordnete Stichprobe:

{displaystyle F_{X_{(1)},ldots ,X_{(n)}}(y_{1},ldots ,y_{n})=}

{displaystyle { egin{aligned}&=F(y_{1})^{n} /& nF(y_{1})(F(y_{2})-F(y_{1}))^{n- 1} /& n(n-1)F(y_{1})(F(y_{2})-F(y_{1}))(F(y_{3})-F(y_{2}) )^{n-2} /&ldots /& n!F(y_{1})prod _{i=1}^{n-1}(F(y_{i 1}-F(y_{i})) Ende{ausgerichtet}}}

Anwendung

Die geordnete Stichprobe und die Rankings spielen eine wichtige Rolle bei der in verteilungsfreie Statistik.

Als die Verteilungsfunktion der Verteilung, aus der die Stichprobe gezogen wurde, kann die bestellte Stichprobe auf die bestellte Stichprobe aus der gleichmäßige Verteilung, und seine Eigenschaften werden entsprechend untersucht.

Literatur

Bapat, R. B.; Beg, M. I. (1989). „Ordnungsstatistik für nicht identisch verteilte Variablen und Permanents“. Sankhyā: The Indian Journal of Statistics, Serie A (1961–2002) 51(1): 79–93. JSTOR 25050725. HERR 1065561.
David, H. A. Order Statistics, 2. Aufl. New York: Wiley, 1981.
Gibbons, J. D. und Chakraborti, S. (Hrsg.). Nichtparametrische statistische Inferenz, 3. Aufl. exp. Rev. New York: Decker, 1992.
Hande, Sayaji (1994). „Eine Anmerkung zur Ordnungsstatistik für nicht dentically verteilte Variablen“. Sankhyā: The Indian Journal of Statistics, Serie A (1961–2002) 56 (2): 365–368. JSTOR 25050995. HERR 1664921.
Hogg, R. V. und Craig, A. T. Introduction to Mathematical Statistics, 3. Aufl. New York: Macmillan, 1970.
Rose, C. und Smith, M. D. "Bestellstatistik". §9.4 in Mathematische Statistik mit Mathematica. New York: Springer-Verlag, S. 311-322, 2002.

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