WikiDer > Beta-Verteilung

Beta
Wahrscheinlichkeitsdichte
Verteilungsfunktion
Parameter	${Anzeigestil Alpha >0}$ ${displaystyle eta >0}$
Träger	${displaystyle xin[0;1]}$
Wahrscheinlichkeitsdichte	${displaystyle {frac {x^{alpha -1}(1-x)^{ eta -1}}{mathrm {B} (alpha, eta)}}}$
Verteilungsfunktion	Nicht explizit aufzuschreiben
Erwartungswert	${displaystyle {frac {alpha }{alpha eta }}}$
Modus	${displaystyle {frac {alpha -1}{alpha eta -2}}}$ wenn ${displaystyle alpha >1, eta >1}$
Abweichung	${displaystyle {frac {alpha eta }{(alpha eta)^{2}(alpha eta 1)}}}$
verzerren	${displaystyle {frac {2,( eta -alpha ){sqrt {alpha eta 1}}}{(alpha eta 2){sqrt {alpha eta }}}}}}$
Entropie	${displaystyle ln mathrm {mathrm {B} } (a,b)-(a-1)psi (a)-}$ ${Anzeigestil (b-1)psi (b) (a b-2)psi (a b)}$
momentan Erzeugungsfunktion	${displaystyle 1 sum _{k=1}^{infty }left(prod _{r=0}^{k-1}{frac {alpha r}{alpha eta r}}ight){frac {t^{k }}{k!}}}$
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In dem Wahrscheinlichkeit und Statistik ist der Betaverteilung eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, mit zwei Parametern. Die Betaverteilung wird verwendet, um die Wahrscheinlichkeitsverteilung sortierter Mengen zu beschreiben. Außerdem wird die Beta-Verteilung ausgiebig in der Bayesian Statistiken wegen nützlicher mathematischer Eigenschaften dieser Verteilung.

Definition

Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Betaverteilung ist auf dem Intervall [0, 1] definiert als

${displaystyle f(x;alpha , eta )={frac {1}{mathrm {B} (alpha , eta )}}x^{alpha -1}(1-x)^{ eta -1}}$

Darin sind ${displaystyle alpha }$ und ${displaystyle eta }$ beide positive reelle Zahlen und ist

${displaystyle mathrm {B} (alpha, eta)={frac {Gamma (alpha)Gamma (eta)}{Gamma (alpha eta)}}}$

das Beta-Funktion.

Form des Diagramms

Die Betaverteilung wird im Intervall [0, 1] definiert. Die Form des Graphen hängt von den Parametern ab:

• wenn ${displaystyle alpha = eta }$, dann ist der Graph um 1/2 about symmetrisch
• ${displaystyle alpha <1, eta <1}$: der Graph hat eine U-Form (rote Linie)
• ${displaystyle alpha <1, eta geq 1}$: der Graph nimmt ab (blaue Linie)
• ${displaystyle alpha=1, eta=1}$: Diese Beta-Distribution ist die gleichmäßige Verteilung
• ${displaystyle alpha >1, eta leq 1}$: der Graph steigt (grüne Linie)
• ${displaystyle alpha >1, eta >1}$: der Graph ist unimodal (hat 1 Modus) (lila und schwarze Linie)

Beziehung zu anderen Distributionen

• Die Beta${Anzeigestil (1,1)}$-Verteilung ist gleich der kontinuierliche Gleichverteilung.
• wenn ${Anzeigestil X}$ und ${Anzeigestil Y}$ unabhängig sein bzw. a ${Anzeigestil-Gamma (a,c)}$- und ${Anzeigestil-Gamma (b,c)}$-Verteilung haben, dann hat ${Anzeigestil X/(X Y)}$ ein Beta${Anzeigestil (a,c)}$-Verteilung