WikiDer > Gibbs-Phänomen

In dem Mathematik ist der Gibbs-Phänomen, entdeckt 1848 von Henry Wilbraham^[1] und wiederentdeckt von Josiah Willard Gibbs im Jahr 1899, die seltsame Art und Weise, in der die die Fourierreihe von a Stück für Stück kontinuierlich differenzierbarperiodische Funktion verhält sich in einem Sprungpunkt. Das ${displaystyle n}$-das Teilsumme der Fourier-Reihe weist in der Nähe des Sprungpunktes große Schwankungen auf, so dass das Maximum der Teilsumme über die benachbarten Funktionswerte ansteigt. Dieses sogenannte Überschwingen erlischt nicht mit zunehmendem ${displaystyle n}$, nähert sich aber einer endlichen Grenze.^[2]

Dieses Phänomen war auch von Experimentalphysikern beobachtet worden, galt aber als Folge von Unvollkommenheiten in der Messtechnik.^[3]

Beschreibung

Approximation der Rechteckwelle mit 5 Harmonischen

Approximation der Rechteckwelle mit 25 Harmonischen

Approximation der Rechteckwelle mit 125 Harmonischen

Das Gibbs-Phänomen betrifft sowohl die Tatsache, dass die Fourier-Summen in einer Sprungunstetigkeit überschwingen, als auch dass diese Überschwingung nicht abstirbt, wenn mehr Terme enthalten sind.

Die drei Abbildungen rechts zeigen das Phänomen für a Rechteckschwingung mit Höhe ${Anzeigestil pi/4}$ mit der Fourier-Entwicklung

${displaystyle sin(x) { frac {1}{3}}sin(3x) { frac {1}{5}}sin(5x) ldots }$.

Genauer formuliert geht es um die Funktion ${displaystyle f}$ der für jeden ${displaystyle n}$ der Wert ${Anzeigestil pi/4}$ nimmt an zwischen ${Anzeigestil 2npi}$ und ${Anzeigestil (2n 1)pi}$ und ${displaystyle -pi /4}$ zwischen ${Anzeigestil (2n 1)pi}$ und ${Anzeigestil (2n 2)pi}$. Diese Rechteckwelle hat also eine Sprungunstetigkeit vom Betrag ${Anzeigestil pi /2}$ in einem ganzzahligen Vielfachen von ${Anzeigestil pi}$.

Wie zu sehen ist, nimmt der Näherungsfehler mit zunehmender Anzahl von Termen sowohl in der Breite als auch in der Energie ab, konvergiert jedoch nicht gegen 0, sondern gegen eine feste Höhe. Eine Berechnung für die Rechteckwelle (siehe Zygmund, Kap. 8.5. oder die Berechnungen am Ende dieses Artikels) liefert eine explizite Formel für den Grenzwert. Es stellt sich heraus, dass die Fourier-Reihe die Höhe ${Anzeigestil pi/4}$ der Rechteckwelle um . überschreitet

${displaystyle { frac {1}{2}}int _{0}^{pi }{frac {sin t}{t}},{m {d}}t-{ frac {1}{4}}pi = { frac {1}{2}}pi cdot 0{,}089489872236dots ,}$

das sind etwa 9% der Sprunggröße.

Allgemeiner ausgedrückt gilt an jedem Sprungpunkt einer stückweise stetig differenzierbaren Funktion die ${displaystyle n}$-die Teilsumme der Fourier-Entwicklung für sehr große ${displaystyle n}$ das ist um ungefähr gesprungen ${Displaystil 0{,}089489872236Punkte}$ oben überschreiten und unten um den gleichen Bruchteil unterschreiten. Somit wird der "Sprung" in der Teilsumme der Fourier-Entwicklung etwa 18% größer sein als der Sprung in der ursprünglichen Funktion. An der Diskontinuität selbst konvergiert die Fourier-Reihe zum Zentrum des Sprungs (unabhängig davon, wie hoch der wahre Wert der ursprünglichen Funktion an diesem Punkt ist). Die Größe

${displaystyle int _{0}^{pi }{frac {sin t}{t}},{m {d}}t=1{,}851937051982dots ={ frac {1}{2}}pi pi cdot 0{ ,}089489872236Punkte }$

ist bekannt als die Wilbraham-Gibbs-Konstante.

Geschichte

Das Gibbs-Phänomen wurde zuerst von Henry Wilbraham entdeckt und analysiert. 1848 veröffentlichte er einen Artikel darüber, der jedoch in der mathematischen Welt unbemerkt blieb.^[4]Albert Michelson entwickelte 1898 ein Gerät, das die Fourier-Reihe berechnen und synthetisieren konnte. Ein weit verbreiteter Mythos besagt, dass, wenn die Fourier-Koeffizienten für eine Rechteckwelle in die Maschine eingegeben wurden, der Graph begonnen hätte, um die Diskontinuitäten zu schwingen. Und weil ein physisches Gerät Herstellungsfehlern unterliegt, wäre Michelson davon überzeugt gewesen, dass das Überschwingen durch Fehler in der Maschine verursacht wurde. Tatsächlich waren die von der Maschine erstellten Grafiken nicht gut genug, um das Gibbs-Phänomen klar zu zeigen, und Michelson hätte es nicht bemerkt, da er dieses Phänomen weder in dem Artikel über seine Maschine noch in seinen späteren Briefen an . erwähnt Natur. Inspiriert von einem Briefwechsel in Natur zwischen Michelson und Love über die Konvergenz der Fourier-Reihe der Rechteckwellenfunktion veröffentlichte Gibbs 1898 eine kurze Notiz, in der er schrieb, was heute a Sägezahn genannt, betrachtet und auf den wichtigen Unterschied zwischen dem Grenzwert der Graphen der Partialsummen der Fourier-Reihe und dem Graphen der Funktion hingewiesen, der der Grenzwert dieser Partialsummen ist. In seinem ersten Brief erwähnte Gibbs das Gibbs-Phänomen nicht, und der von ihm beschriebene Grenzwert für die Teilsummengraphen war ungenau. 1899 veröffentlichte er eine Korrektur, in der er das Überschwingen in der Unstetigkeitsstelle beschrieb (Natur: 27. April 1899, p. 606). Im Jahr 1906 gab Maxime Bocher eine umfassende statistische Analyse dieser Überschreitung, die er das "Gibbs-Phänomen" nannte.^[5]

Erläuterung

Informell spiegelt das Phänomen die Schwierigkeiten wider, die bei der Approximation einer unstetigen Funktion durch a . inhärent sind endlich Reihe von stetigen Sinus und Kosinus. Die Betonung liegt auf endlich, denn während jede Partialsumme der Fourier-Reihe den Überschuss in der Approximation der Funktion zeigt, zeigt der Grenzwert der Partialsummen dies nicht. Der Punkt, an dem die maximale Überschreitung auftritt, nähert sich mit zunehmender Anzahl von Termen in der Teilsumme immer mehr der Diskontinuität. Sobald das Überschwingen einen Punkt passiert hat, konvergiert die Fourier-Reihe an diesem Punkt. Es gibt punktweise Konvergenz, aber nicht gleichmäßige Konvergenz.

Stück für Stück ${Anzeigestil C^{1}}$Funktion konvergiert die Fourier-Reihe an jedem Punkt, außer in den Sprungunstetigkeiten. Für diese Sprungunstetigkeiten besteht eine Konvergenz zum Mittelwert der Werte der Funktion auf beiden Seiten des Sprungs. Dies ist eine Folge der Satz von Dirichlet^[6]

Mathematische Beschreibung

Sie ${displaystyle f:mathbb {R} oder mathbb {R}}$ eine stückweise stetige, differenzierbare und periodische Funktion mit Periode ${Anzeigestil T}$, worauf es ankommt ${displaystyle x_{0}}$ hat eine Sprungunstetigkeit:

${displaystyle f(x_{0}^{ })-f(x_{0}^{-})=aeq 0.}$

Name zur Vereinfachung der Notation ${Anzeigestil Omega=2pi /L}$. Die Fourier-Transformation von ${displaystyle f}$ ist gegeben durch die Folge:

${displaystyle F(n)={frac {1}{L}}int _{0}^{L}f(x)e^{-iomega nx},{m {d}}x}$

und der ${Displaystil N}$-die Teilsumme der Fourier-Reihe durch:

${Anzeigestil S_{N}(x)=Summe _{-Nleq nleq N}F(n)e^{iomega nx}}$

Dann gilt:

${displaystyle lim _{N o infty }S_{N}left(x_{0} {frac {L}{2N}}ight)=f(x_{0}^{ }) acdot 0{,}089489872236dots }$

und

${displaystyle lim _{N o infty }S_{N}left(x_{0}-{frac {L}{2N}}ight)=f(x_{0}^{-})-acdot 0{,}089489872236dots }$,

aber

${displaystyle lim _{N o infty }S_{N}(x_{0})={frac {f(x_{0}^{-}) f(x_{0}^{ })}{2}}. }$

Allgemeiner gesagt für jede Zeile ${Anzeigestil (x_{n})}$ reelle Zahlen konvergieren gegen ${displaystyle x_{0}}$ dass wenn ${Anzeigestil a>0}$ ist:

${displaystyle limsup _{N o infty }S_{N}(x_{N})leq f(x_{0}^{ }) acdot 0{,}089489872236dots }$

und

${displaystyle liminf _{N o infty }S_{N}f(x_{N})geq f(x_{0}^{-})-acdot 0{,}089489872236dots .}$

wenn ${displaystyle a<0}$ ist, es gelten analoge Beziehungen.

Verweise