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Dieser Artikel beschreibt das Konzept der Fourier-Reihe mathematisch. Eine allgemeine Einführung und Anwendungen finden Sie unter Fourier-Analyse.

EIN die Fourierreihe ist eine (möglicherweise unendliche) gewichtete Summe von Sinus und Cosinus Das hier Ansatz Formulare von jedem periodische Funktion. Das Perioden der Sinus und Kosinus in der Reihe sind ganzzahlige Teile der Periode der Näherungsfunktion. Anstelle von Sinus und Kosinus kann auch eine Fourier-Reihe mit komplexen Potenzen von e geschrieben werden.

Für die Existenz der Fourierreihe genügt es, dass die periodische Funktion begrenzt ist. Die Koeffizienten in der Reihe sind gegeben durch Fourier-Analyse bestimmt, eine Technik, die in der 19. Jahrhundert vom französischen Mathematiker und Physiker Fourier ist entwickelt.

Geschichte

Für Fourier war die Serie

${displaystyle { frac {1}{2}}x=sin(x)-{ frac {1}{2}}sin(2x) { frac {1}{3}}sin(3x)-{ frac {1} {4}}sünde(4x) ldots }$

bereits bekannt. Es ist eine trigonometrische Serie, eine Zusammenfassung von trigonometrische Funktionen${displaystyle cos(nx)}$ und ${displaystyle sin(nx)}$ die schon bestanden haben Euler gefunden wurde, aber nicht angegeben, wie es dazu gekommen ist und dass die Sequenz nur zählt, wenn ${displaystyle -pi$. Fourier erkannte, dass diese Funktion nicht allein stand. Er vermutete, dass jede Funktion als Summe von Sinus und Kosinus mit bestimmten Koeffizienten geschrieben werden könnte, die ihm zu Ehren Fourier-Koeffizienten genannt wurden.

Anfangs unter anderem Fouriers Zeitgenossen Lagrange, skeptisch. Ihr Einwand war, dass nicht jeder periodische Funktion kann als Fourierreihe geschrieben werden. Ein Beispiel ist das Tangente ; perfekt periodisch, kann aber nicht als Fourier-Reihe geschrieben werden. Es war der Mathematiker dirichlet, einer späteren Generation, die eine Reihe zusätzlicher Bedingungen aufgestellt hat, die die Funktion erfüllen muss. Diese Bedingungen sind:

1. Die Funktion ${Anzeigestil f(x)}$ muss auf a Intervall kann die Größe von 1 Periode haben integriert.
2. Die Anzahl der Diskontinuitäten von ${Anzeigestil f(x)}$ muss in diesem Intervall endlich sein.
3. Die Ableitung von ${Anzeigestil f(x)}$ kann an einer endlichen Anzahl von Punkten in diesem Intervall diskontinuierlich sein.

Theorie

Die Frage ist, ob es einen systematischen Weg gibt, eine periodische Funktion zu finden ${displaystyle f}$, wir beginnen von der Zeitspanne${Displaystil 2pi }$, durch eine trigonometrische Reihe zu approximieren, d. h. durch eine Reihe der Form:

${displaystyle { ilde {f}}(x)=a_{0} a_{1}cos(x) b_{1}sin(x) a_{2}cos(2x) b_{2}sin(2x) ldots }$

Die Koeffizienten sind so zu bestimmen, dass die Entfernung zwischen ${displaystyle f}$ und die Reihe ist so klein wie möglich, mit dem Abstand gegeben durch Norm:

${displaystyle |f-{ ilde {f}}|={sqrt {{frac {1}{2pi }}int _{0}^{2pi }{ ig (}f(x)-{ ilde {f}}( x){ig)}^{2},mathrm {d} x}}}$

Man kann es einfacher machen, indem man sich daran erinnert, dass diese Norm durch die internes Produkt:

${displaystyle langle f,gangle ={frac {1}{2pi }}int _{0}^{2pi }f(x)g(x),mathrm {d} x}$

Bezogen auf dieses innere Produkt aus Sinus und Kosinus wird die Konstante zu ${displaystyle cos(0x)}$ konzipiert, a senkrecht System, so dass die Reihe durch Orthogonal Projektion von ${displaystyle f}$ auf den einzelnen Sinus und Cosinus.

Orthogonale Projektion

Da Sinus und Kosinus orthogonal sind, sind die Koeffizienten gegeben durch:

${displaystyle a_{0}=langle f,1angle ={frac {1}{2pi }}int _{0}^{2pi }f(x),mathrm {d} x}$

und für ${Anzeigestil n>1}$:

${displaystyle a_{n}={frac {langle f,cos(nx)angle }{langle cos(nx),cos(nx)angle }}=2langle f,cos(nx)angle ={frac {1}{pi }}int _{0}^{2pi}f(x)cos(nx),mathrm {d} x}$

und analog:

${displaystyle b_{n}={frac {1}{pi }}int _{0}^{2pi}f(x)sin(nx),mathrm {d} x}$

Beliebig im Intervall ${Anzeigestil (0,2pi)}$ periodische Funktion ${displaystyle f}$, für die die obige Reihe existiert, kann somit angenähert werden durch:

${displaystyle f(x)ca. a_{0} }$

${displaystyle b_{1}sin(x) b_{2}sin(2x) b_{3}sin(3x) ldots }$

${displaystyle a_{1}cos(x) a_{2}cos(2x) a_{3}cos(3x) ldots }$,

${displaystyle =a_{0} sum _{n=1}^{infty }(a_{n}cos(nx) b_{n}sin(nx))}$

Für Funktionen, die stückweise stetig differenzierbar sind, also nur endlich viele Unstetigkeitspunkte haben, in denen sowohl der linke und der rechte Grenzwert als auch die linke und rechte Ableitung existieren und ansonsten mit stetigen Ableitungen differenzierbar sind, konvergiert die Reihe in in Punkte ${Anzeigestil x}$ wahr ${displaystyle f}$ kontinuierlich ist Punkt auf ${Anzeigestil f(x)}$. An den Unstetigkeitspunkten konvergiert die Reihe zu einem Mittelwert zwischen der linken und rechten Grenze.

mathematischer Hintergrund

Wir können auch eine geometrische Darstellung machen und die Fourier-Reihe als beste Näherung der Funktion nehmen ${displaystyle f}$ in dem von endlich vielen Sinus und Cosinus erzeugten Unterraum wird die Konstante zu ${displaystyle cos(0x)}$ verstanden. Die beste Näherung ist dann die Projektion der Funktion auf diesen Unterraum. Diese Projektion ist eine Linearkombination der erzeugenden Funktionen. Bilden diese ein Orthonormalsystem bezüglich eines inneren Produkts, dann sind die Koeffizienten einfach die inneren Produkte von f mit den Elementen des Orthonormalsystems. Wenn das System nicht standardisiert ist, müssen die Koeffizienten noch skaliert werden.

Der natürliche Kontext für diese geometrische Interpretation der Fourier-Reihe ist der hilbert zimmer${displaystyle L^{2}[-pi , pi ]}$. Funktionen, die fast überall sind einander gleich sind klassifiziert in Äquivalenzklassen. Das Skalarprodukt oder Skalarprodukt zweier Funktionsklassen ist das Integral des Produkts der entsprechenden Funktionen. Anstelle der erwähnten Dirichlet-Bedingungen fordern wir einfach, dass die Funktion ${displaystyle f}$ quadratisch lebesgue-integrierbar ist.

Internes Produkt

Wie oben erwähnt, stehen die relevanten Kosinus- und Sinuswerte für komplexwertige Funktionen orthogonal zum inneren Produkt:

${displaystyle langle f,gangle ={frac {1}{T}}int _{T}f(t){overline {g(t)}},mathrm {d} t}$,

in welchem ${Anzeigestil T}$ den betreffenden Zeitraum.

Orthonormale Funktionen

Anstelle von Sinus und Cosinus sind die komplexen E-Powers ${displaystyle phi _{k}(t)=e^{ikomega t}}$, mit ${Anzeigestil Omega=2pi /T}$, als orthogonales System. Dieses System ist sogar orthonormal, denn:

${displaystyle langle phi _{m},phi _{n}angle ={frac {1}{T}}int _{T}e^{imomega t}e^{-inomega t},mathrm {d} t= Delta_{mn}}$

Hier ist ${displaystyle delta_{mn}}$ das kronecker delta.

Koeffizienten

Eine Funktion ${displaystyle f}$ wird nun durch die Reihe angenähert:

${displaystyle sum _{k=-infty }^{infty }c_{k}phi _{k}}$

Die Koeffizienten ${displaystyle c_{k}}$ werden bestimmt durch:

${displaystyle c_{k}=langle f,phi _{k}angle ={frac {1}{T}}int limits _{T}f(t)e^{-ikomega t},mathrm {d} t}$

Die Funktionen

${displaystyle phi _{k}:tmapsto e^{ikomega t}, k=0,pm 1,pm 2,ldots }$

verhalten sich wie orthonormale Basisvektoren in einer endlichen Dimension Vektorraum mit innerem Produkt, außer dass die Linearkombinationen der Basisvektoren unendliche Reihen sein können. Eine solche Menge von Basisvektoren heißt allgemein a schauder basis des normierter Vektorraum.

Bemerkungen

Konvergenz

Konvergenz im Hilbertraum ${displaystyle L^{2}[-pi ,pi ]}$ bedeutet das:

${displaystyle lim _{N o infty }int _{-pi }^{pi }left|f(t)-sum _{n=-N}^{N}c_{n},e^{inomega t}ight |^{2},mathrm {d} t=0}$

Wir sprechen von Konvergenz in der Norm oder auch von Konvergenz im quadratischen Mittelwert. Dies bedeutet nicht unbedingt, dass es auch punktweise Konvergenz gibt, aber Konvergenz fast überall.

Die Austauschbarkeit von Grenzwerten und Lebesgue-Integralen wird unter bestimmten Bedingungen durch den Satz vom dominierte Konvergenz oder von der Satz der monotonen Konvergenz.

Verhaltenskoeffizienten

Man kann beweisen, dass für eine stetige Funktion die Fourier-Koeffizienten mit ${displaystyle k}$ gemäß ${Displaystil 1/k^{3}}$. Bei stetig differenzierbaren Funktionen sinken die Koeffizienten gemäß ${Displaystil 1/k^{4}}$, für nicht stetige Funktionen, wie die Sägezahnfunktion ${Anzeigestil f(x)=x/pi}$ (vor dem ${displaystyle |x|leq pi }$, fallen die Koeffizienten gemäß ${Displaystil 1/k}$.

Gibbs-Phänomen

Gibbs-Phänomen: Sprung von oben und unten

Sowohl der Kosinus als auch der Sinus und ${displaystyle e^{ikomega _{0}x}}$ sein kontinuierliche Funktionen, so dass die Approximation eine stetige Funktion ist. Die Approximation einer unstetigen Funktion ist also auch eine stetige Funktion. In einem Unstetigkeitspunkt einer Funktion mit einem Sprung macht die Fourierreihe notwendigerweise einen oberen und einen unteren Sprung. Das wird es sein Gibbs-Phänomen erwähnt.

Eigenschaften

Die folgenden Eigenschaften zur Bestimmung der Fourier-Reihe können (per Definition) leicht bewiesen werden. Wir geben die Eigenschaften nur für c_k.

Zusammenhang zwischen den Koeffizienten

Der Einfachheit halber wird angenommen, dass die Funktion reell ist; dann ist die Beziehung gegeben durch:

${displaystyle a_{0}=c_{0}}$

${displaystyle a_{n}=c_{n} c_{-n}}$

${displaystyle b_{n}=i(c_{n}-c_{-n})}$

Parseval

Die Beziehung zwischen einer Funktion mit Periode ${Anzeigestil T}$ und seine Fourier-Koeffizienten sind normkonservativ, ausgedrückt in parseval-Gleichheit:

${displaystyle {frac {1}{T}}int _{T}|f(x)|^{2},mathrm {d} x=sum _{k=-infty }^{infty }|c_{k} |^{2}}$

Praktisch bedeutet dies, dass die Leistung eines Signals ${displaystyle f}$, wird auf seine Spektralkomponenten verteilt.

Berechnungsregeln

Einige Eigenschaften der Fourier-Reihe sind:

Funktion	Fourier-Koeffizienten	Eigentum
${displaystyle alpha f(t) eta g(t)}$	${displaystyle alpha f_{k} eta g_{k}}$	Linearität
${displaystyle f(t-au)}$	${displaystyle e^{-ikomega _{0} au }f_{k}}$	Zeitverschiebung
${Anzeigestil f(-t)}$	${displaystyle f_{-k}}$	Zeitumkehr
${displaystyle f^{*}(t)}$	${displaystyle f_{-k}^{*}}$	Konjugation
${displaystyle e^{inomega _{0}t}f(t)(nin mathbb {Z})}$	${displaystyle f_{k-n}}$	Frequenzverschiebung

Beispiele

Dreiecksimpuls

gute Näherung mit 6 Termen

Wir wählen den Maximalwert 1 und den Minimalwert −1.

${displaystyle f(x)={ egin{cases}1 {frac {2}{pi }}x&{mbox{if }}&-pi$

Diese gerade Funktion kann durch Kosinusterme angenähert werden:

${displaystyle f(x)={ frac {8}{pi ^{2}}}links{cos(x) { frac {1}{3^{2}}}cos(3x) { frac {1}{5 ^{2}}}cos(5x) ldots ight}}$

Dieser Dreieckspuls ist kontinuierlich, die Koeffizienten fallen daher recht stark ab, die Näherung ist bereits nach wenigen Termen gut.

Rechteckschwingung

Nach 500 Termen ist die Rechteckwelle schon einigermaßen angenähert.

Dies ist eine ungerade Funktion, daher wird sie nur mit Sinus angenähert.

${displaystyle f(x)={ frac {4}{pi}}links{sin(x) { frac {1}{3}}sin(3x) { frac {1}{5}}sin(5x) ldots ight }}$

Die Rechteckwelle ist nicht kontinuierlich, daher fallen die Koeffizienten auch nicht stark ab. Um eine Rechteckwelle anzunähern, werden viele Terme benötigt.

Sägezahnimpuls

Wir wählen den Maximalwert 1 und den Minimalwert –1.

${displaystyle f(x)={ egin{cases}{frac {1}{pi }}x&{mbox{if }}-pi$

Diese ungerade Funktion kann vollständig durch Sinusterme angenähert werden:

${displaystyle f(x)={ frac {2}{pi }}links{sin(x)-{ frac {1}{2}}sin(2x) { frac {1}{3}}sin(3x)- ldots ight}}$

Dieser Sägezahnimpuls ist nicht kontinuierlich, sodass die Koeffizienten nicht stark abfallen. Die Approximation ist daher nach einer größeren Anzahl von Termen immer noch nicht gut.

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